Упр.521 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 521. Три числа, сумма которых равна 78, составляют геометрическую прогрессию и являются также первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Найти эти числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 kolyagin9 521 95

Подробный ответ

Пусть $$b_1, b_2, b_3$$ — данные числа. Так как они являются первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии, то

$$b_1=a_1,$$
$$b_2=a_3=b_1+2d,$$
$$b_3=a_9=b_1+8d.$$

По условию сумма этих чисел равна $$78$$, значит

$$b_1+b_2+b_3=78,$$
$$b_1+(b_1+2d)+(b_1+8d)=78,$$
$$3b_1+10d=78,$$
$$b_1=\frac{78-10d}{3}.$$

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$d$$:

$$\left(b_1+2d\right)^2=b_1\left(b_1+8d\right),$$
$$b_1^2+4b_1d+4d^2=b_1^2+8b_1d,$$
$$4d^2-4b_1d=0,$$
$$4d(d-b_1)=0.$$

Отсюда возможны два случая.

$$d=0$$. Тогда
$$b_1=\frac{78-10\cdot 0}{3}=26,$$
$$b_2=26+2\cdot 0=26,$$
$$b_3=26+8\cdot 0=26.$$
$$d=b_1$$. Тогда
$$3b_1+10b_1=78,$$
$$13b_1=78,$$
$$b_1=6,$$
$$b_2=6+2\cdot 6=18,$$
$$b_3=6+8\cdot 6=54.$$