Упр.520 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

а) сумма первого и четвёртого чисел равна 11, а сумма второго и третьего равна 2;
б) первое, второе и третье числа являются последовательными членами арифметической прогрессии;
в) второе, третье и четвёртое числа являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Обозначим числа через $$a_1, a_2, a_3, a_4.$$ Тогда по условию

$$a_1+a_4=11, \qquad a_2+a_3=2.$$

Так как $$a_1, a_2, a_3$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Из равенства $$a_2+a_3=2$$ получаем

$$\frac{a_1+a_3}{2}+a_3=2,$$

$$a_1+a_3+2a_3=4,$$

$$a_1=4-3a_3,$$

$$a_2=\frac{4-3a_3+a_3}{2}=2-a_3.$$

Так как $$a_2, a_3, a_4$$ — последовательные члены геометрической прогрессии, то

$$a_3^2=a_2a_4,$$

откуда

$$a_4=\frac{a_3^2}{a_2}=\frac{a_3^2}{2-a_3}.$$

Подставим это в уравнение $$a_1+a_4=11$$:

$$4-3a_3+\frac{a_3^2}{2-a_3}=11.$$

Умножим на $$2-a_3$$:

$$\left(4-3a_3\right)\left(2-a_3\right)+a_3^2=11\left(2-a_3\right),$$

$$8-4a_3-6a_3+3a_3^2+a_3^2=22-11a_3,$$

$$4a_3^2+a_3-14=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+4\cdot 4\cdot 14=225,$$

$$a_3=\frac{-1\pm 15}{8}.$$

Получаем два значения:

$$a_3=-2 \quad \text{или} \quad a_3=\frac{7}{4}.$$

1) Если $$a_3=-2,$$ то

$$a_1=4-3(-2)=10,$$

$$a_2=2-(-2)=4,$$

$$a_4=\frac{(-2)^2}{2-(-2)}=\frac{4}{4}=1.$$

Тогда числа: $$10, 4, -2, 1.$$

2) Если $$a_3=\frac{7}{4},$$ то

$$a_1=4-3\cdot \frac{7}{4}=\frac{16}{4}-\frac{21}{4}=-\frac{5}{4},$$

$$a_2=2-\frac{7}{4}=\frac{8}{4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{4},$$

$$a_4=\frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{2-\frac{7}{4}}=\frac{49}{16}\div \frac{1}{4}=\frac{49}{4}.$$

Тогда числа: $$-\frac{5}{4}, \frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{49}{4}.$$

Ответ

$$10,\ 4,\ -2,\ 1$$ или $$-\frac{5}{4},\ \frac{1}{4},\ \frac{7}{4},\ \frac{49}{4}.$$