Упр.518 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение:
   
   1) $$\frac{1}{\sqrt{5}}\left(4(a+1)+\left(\sqrt[3]{a\sqrt{a}}-1\right)^2-\left(\frac{\sqrt[6]{ab^2}+\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\right)^3\right)^{1/2}$$, где $$0 2) $$\frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3}$$.

1) Преобразуем выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{5}} \left( 4(a+1)+\left(\sqrt[3]{a\sqrt{a}}-1\right)^2- \left( \frac{\sqrt[6]{ab^2}+\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}+\sqrt[6]{a} \right)^3 \right)^{\frac12}$$

Так как
$$\sqrt[3]{a\sqrt{a}}=\sqrt[3]{a\cdot a^{1/2}}=a^{1/2}=\sqrt{a},$$
а также
$$\frac{\sqrt[6]{ab^2}+\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}+\sqrt[6]{a} =\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{a}=2\sqrt[6]{a},$$
то получаем:

$$\frac{1}{\sqrt{5}} \left( 4a+4+(\sqrt{a}-1)^2-(2\sqrt[6]{a})^3 \right)^{\frac12}.$$

Упростим:
$$(\sqrt{a}-1)^2=a-2\sqrt{a}+1,\qquad (2\sqrt[6]{a})^3=8\sqrt{a}.$$
Тогда
$$4a+4+a-2\sqrt{a}+1-8\sqrt{a}=5a-10\sqrt{a}+5=5(\sqrt{a}-1)^2.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5(\sqrt{a}-1)^2} =\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2} =|\sqrt{a}-1|.$$
Так как $$0

2) Упростим выражение:

$$\frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3}.$$

Вынесем общие множители:
$$a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}=a^{-2}b^{-2}(a-b),$$
$$a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}=a^{-2}b^{-2}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right).$$
Тогда
$$\frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}} = \frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$
Используем формулу
$$a-b=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}\right).$$
Тогда
$$\frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}} =a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}.$$
Вычитаем $$a^{1/3}b^{1/3}$$:
$$a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3} =a^{2/3}+b^{2/3}.$$

Ответ

1) $$1-\sqrt{a}$$; 2) $$a^{2/3}+b^{2/3}$$.