Упр.518 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (1/v5)(4(a+1)+((ava)^(1/3)-1)^2-(((ab^2)^(1/6)+va)/(a^(1/3)+b^(1/3)))^3)^(1/2), где 0 < a?1; 2) (a^(-1) b^(-2)-a^(-2) b^(-1))/(a^(-5/3) b^(-2)-b^(-5/3) a^(-2))-a^(1/3) b^(1/3).

1) Преобразуем выражение:

$$ \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 4(a+1)+\left(\sqrt[3]{a\sqrt{a}}-1\right)^2- \left( \frac{\sqrt[6]{ab^2}+\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}+\sqrt[6]{a} \right)^3 \right)^{\frac12} $$

Так как
$$ \sqrt[3]{a\sqrt{a}}=\sqrt[3]{a\cdot a^{1/2}}=a^{1/2}=\sqrt{a}, $$
а также
$$ \frac{\sqrt[6]{ab^2}+\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}+\sqrt[6]{a} =\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{a}=2\sqrt[6]{a}, $$
то получаем:

$$ \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 4a+4+(\sqrt{a}-1)^2-(2\sqrt[6]{a})^3 \right)^{\frac12}. $$

Упростим:
$$ (\sqrt{a}-1)^2=a-2\sqrt{a}+1,\qquad (2\sqrt[6]{a})^3=8\sqrt{a}. $$
Тогда
$$ 4a+4+a-2\sqrt{a}+1-8\sqrt{a}=5a-10\sqrt{a}+5=5(\sqrt{a}-1)^2. $$
Следовательно,
$$ \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5(\sqrt{a}-1)^2} =\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2} =|\sqrt{a}-1|. $$
Так как $$0

2) Упростим выражение:

$$ \frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3}. $$

Вынесем общие множители:
$$ a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}=a^{-2}b^{-2}(a-b), $$
$$ a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}=a^{-2}b^{-2}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right). $$
Тогда
$$ \frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}} = \frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}. $$
Используем формулу
$$ a-b=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}\right). $$
Тогда
$$ \frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}} =a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}. $$
Вычитаем $$a^{1/3}b^{1/3}$$:
$$ a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3} =a^{2/3}+b^{2/3}. $$

Ответ

1) $$1-\sqrt{a}$$; 2) $$a^{2/3}+b^{2/3}$$.