Упр.514 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 514. Сумма трёх чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 39. Если из первого числа вычесть 4, из второго 5, а из третьего 2, то полученные числа будут тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа.

Пусть данные числа — $$a_1, a_2, a_3$$. Тогда после изменений получаем:

$$b_1=a_1-4,\quad b_2=a_2-5,\quad b_3=a_3-2.$$

Так как $$a_1, a_2, a_3$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

По условию их сумма равна $$39$$, значит

$$a_1+a_2+a_3=39.$$

Подставим выражение для $$a_2$$:

$$a_1+\frac{a_1+a_3}{2}+a_3=39,$$
$$2a_1+a_1+a_3+2a_3=78,$$
$$3(a_1+a_3)=78,$$
$$a_1+a_3=26.$$

Тогда

$$a_2=\frac{26}{2}=13.$$

Теперь используем то, что $$b_1, b_2, b_3$$ — последовательные члены геометрической прогрессии:

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Подставим значения:

$$\left(13-5\right)^2=(a_1-4)(a_3-2),$$
$$8^2=(a_1-4)(a_3-2),$$
$$64=(a_1-4)(a_3-2).$$

Так как $$a_3=26-a_1$$, получаем

$$64=(a_1-4)(24-a_1),$$
$$64=24a_1-a_1^2-96+4a_1,$$
$$a_1^2-28a_1+160=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=28^2-4\cdot160=784-640=144,$$
$$a_1=\frac{28\pm12}{2}.$$

Отсюда

$$a_1=8 \quad \text{или} \quad a_1=20.$$

Тогда

$$a_3=26-8=18 \quad \text{или} \quad a_3=26-20=6.$$

Итак, искомые числа:

$$8,\ 13,\ 18$$
или
$$20,\ 13,\ 6.$$

Ответ

$$8,\ 13,\ 18$$ или $$20,\ 13,\ 6$$.