Упр.512 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 512. Найти первые 4 члена геометрической прогрессии, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвёртого на 560.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$b_1$$, а знаменатель — через $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_1-b_2=35,$$

$$b_3-b_4=560.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1-b_1q=35,$$

$$b_1q^2-b_1q^3=560.$$

Вынесем общий множитель:

$$b_1(1-q)=35,$$

$$b_1q^2(1-q)=560.$$

Из первого уравнения:

$$b_1=\frac{35}{1-q}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{35}{1-q}\,q^2(1-q)=560,$$

$$35q^2=560,$$

$$q^2=16,$$

$$q=4 \text{ или } q=-4.$$

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$q=-4$$, то

$$b_1=\frac{35}{1-(-4)}=\frac{35}{5}=7,$$

$$b_2=7\cdot(-4)=-28,$$

$$b_3=-28\cdot(-4)=112,$$

$$b_4=112\cdot(-4)=-448.$$

2) Если $$q=4$$, то

$$b_1=\frac{35}{1-4}=\frac{35}{-3}=-\frac{35}{3},$$

$$b_2=-\frac{35}{3}\cdot 4=-\frac{140}{3},$$

$$b_3=-\frac{140}{3}\cdot 4=-\frac{560}{3},$$

$$b_4=-\frac{560}{3}\cdot 4=-\frac{2240}{3}.$$

Ответ

$$7,\,-28,\,112,\,-448$$ или $$-\frac{35}{3},\,-\frac{140}{3},\,-\frac{560}{3},\,-\frac{2240}{3}.$$