Упр.511 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 511. В арифметической прогрессии a_1+a_5=5/3, a_3a_4=65/72. Найти сумму семнадцати первых членов прогрессии.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность.

Тогда

$$a_5=a_1+4d,$$

$$a_3=a_1+2d,\quad a_4=a_1+3d.$$

Из условия $$a_1+a_5=\frac{5}{3}$$ получаем:

$$a_1+(a_1+4d)=\frac{5}{3},$$

$$2a_1+4d=\frac{5}{3},$$

$$a_1=\frac{5}{6}-2d.$$

Теперь используем второе условие:

$$a_3a_4=\frac{65}{72},$$

$$\left(a_1+2d\right)\left(a_1+3d\right)=\frac{65}{72}.$$

Подставим найденное выражение для $$a_1$$:

$$\left(\frac{5}{6}-2d+2d\right)\left(\frac{5}{6}-2d+3d\right)=\frac{65}{72},$$

$$\frac{5}{6}\left(\frac{5}{6}+d\right)=\frac{65}{72}.$$

Умножим на $$72$$:

$$60\left(\frac{5}{6}+d\right)=65,$$

$$50+60d=65,$$

$$60d=15,$$

$$d=\frac{1}{4}.$$

Тогда

$$a_1=\frac{5}{6}-2\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$$

Найдём сумму первых 17 членов:

$$S_{17}=\frac{2a_1+16d}{2}\cdot 17.$$

Подставим значения $$a_1$$ и $$d$$:

$$S_{17}=\frac{2\cdot\frac{1}{3}+16\cdot\frac{1}{4}}{2}\cdot 17,$$

$$S_{17}=\frac{\frac{2}{3}+4}{2}\cdot 17=\frac{\frac{14}{3}}{2}\cdot 17=\frac{7}{3}\cdot 17=\frac{119}{3}=39\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$39\frac{2}{3}$$