Упр.509 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. 1) $$\sqrt{x-2}=4$$;
   2) $$\sqrt{x+3}=8$$;
   3) $$\sqrt{2x+1}=\sqrt{x-1}$$;
   4) $$(x^2+12)^{1/4}=x$$;
   5) $$(6x-x^2)^{1/3}=x$$;
   6) $$\sqrt{3-x}=\sqrt{1+3x}$$.

1. $$\sqrt{x-2}=4$$
   $$x-2=16$$
   $$x=18$$
2. $$\sqrt{x+3}=8$$
   $$x+3=64$$
   $$x=61$$
3. $$\sqrt{2x+1}=\sqrt{x-1}$$
   $$2x+1=x-1$$
   $$x=-2$$
   Проверим область допустимых значений:
   $$x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$$
   Значение $$x=-2$$ не подходит, значит, корней нет.
4. $$\sqrt[4]{x^2+12}=x$$
   Возведём обе части в четвёртую степень:
   $$x^2+12=x^4$$
   $$x^4-x^2-12=0$$
   Пусть $$y=x^2$$, тогда
   $$y^2-y-12=0$$
   $$D=1+48=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$
   $$y_1=-3,\quad y_2=4$$
   Так как $$y=x^2\ge 0$$, берём только $$y=4$$:
   $$x^2=4$$
   $$x=\pm 2$$
   Но по условию $$x\ge 0$$, значит,
   $$x=2$$
5. $$\sqrt[3]{6x-x^2}=x$$
   Возведём обе части в куб:
   $$6x-x^2=x^3$$
   $$x^3+x^2-6x=0$$
   $$x(x^2+x-6)=0$$
   $$x(x+3)(x-2)=0$$
   Отсюда
   $$x=-3,\;0,\;2$$
6. $$\sqrt{3-x}=\sqrt{1+3x}$$
   Возведём обе части в квадрат:
   $$3-x=1+3x$$
   $$4x=2$$
   $$x=\frac12$$
   Проверим область допустимых значений:
   $$3-x\ge 0,\quad 1+3x\ge 0$$
   При $$x=\frac12$$ оба подкоренных выражения неотрицательны, значит, решение подходит.

Ответ

1) $$18$$; 2) $$61$$; 3) корней нет; 4) $$2$$; 5) $$-3,\;0,\;2$$; 6) $$\frac12$$.