Упр.504 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) v(a-b)^2/(a-b), где a > b;
2) v(a-b)^2/(a-b), где b > a;
3) v(1+1/x+1/x^2)/v(x^2+x+1), где x > 0;
4) v(1+1/x+1/x^2)/v(x^2+x+1), где x < 0.

1. $$\frac{\sqrt{(a-b)^2}}{a-b}=\frac{|a-b|}{a-b}.$$
   Так как $$a>b,$$ то $$a-b>0,$$ значит $$|a-b|=a-b.$$ Тогда
   $$\frac{|a-b|}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1.$$

2. $$\frac{\sqrt{(a-b)^2}}{a-b}=\frac{|a-b|}{a-b}.$$
   Так как $$b>a,$$ то $$a-b<0,$$ следовательно $$|a-b|=b-a.$$ Тогда
   $$\frac{|a-b|}{a-b}=\frac{b-a}{a-b}=\frac{-(a-b)}{a-b}=-1.$$

3. $$\frac{\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}}{\sqrt{x^2+x+1}}= \frac{\sqrt{\frac1{x^2}(x^2+x+1)}}{\sqrt{x^2+x+1}}= \frac{\sqrt{\frac1{x^2}}\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x^2+x+1}}.$$
   Сокращаем:
   $$\sqrt{\frac1{x^2}}=\frac1{|x|}.$$
   При $$x>0$$ имеем $$|x|=x,$$ значит
   $$\frac1{|x|}=\frac1x.$$

4. $$\frac{\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}}{\sqrt{x^2+x+1}}= \frac{\sqrt{\frac1{x^2}(x^2+x+1)}}{\sqrt{x^2+x+1}}= \sqrt{\frac1{x^2}}=\frac1{|x|}.$$
   При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x,$$ поэтому
   $$\frac1{|x|}=-\frac1x.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$-1$$; 3) $$\frac1x$$; 4) $$-\frac1x$$.