Упр.503 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) {(3x+2y-xy=7, 2x+3y+xy=3); 2) {(x^2+2y^2+3xy=28, 2x^2+y^2+3xy=20).

1. Решим первую систему:

   $$ \begin{cases} 3x+2y-xy=7,\\ 2x+3y+xy=3. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 5x+5y=10,\quad x+y=2. $$

   Тогда $$y=2-x$$.

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 2x+3(2-x)+x(2-x)=3; $$
   $$ 2x+6-3x+2x-x^2=3; $$
   $$ x^2-x-3=0. $$

   Найдём корни:

   $$ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=13, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}. $$

   Тогда

   $$ y_{1,2}=2-x_{1,2}=\frac{3\mp \sqrt{13}}{2}. $$

   Получаем решения:

   $$ \left(\frac{1-\sqrt{13}}{2};\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right),\quad \left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right). $$

2. Решим вторую систему:

   $$ \begin{cases} x^2+2y^2+3xy=28,\\ 2x^2+y^2+3xy=20. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 3x^2+3y^2+6xy=48, $$
   $$ x^2+2xy+y^2=16, $$
   $$ (x+y)^2=16. $$

   Значит, $$x+y=4$$ или $$x+y=-4$$.

   1) Если $$x+y=-4$$, то $$y=-4-x$$. Подставим во второе уравнение:

   $$ 2x^2+(-4-x)^2+3x(-4-x)=20; $$
   $$ 2x^2+16+8x+x^2-12x-3x^2=20; $$
   $$ 4x=-4,\quad x=-1,\quad y=-3. $$

   2) Если $$x+y=4$$, то $$y=4-x$$. Подставим во второе уравнение:

   $$ 2x^2+(4-x)^2+3x(4-x)=20; $$
   $$ 2x^2+16-8x+x^2+12x-3x^2=20; $$
   $$ 4x=4,\quad x=1,\quad y=3. $$

   Получаем решения:

   $$ (-1;-3),\quad (1;3). $$

Ответ

1) $$\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2};\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right);$$
2) $$(-1;-3),\ (1;3).$$