Упр.503 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений: 1) $$\begin{cases}3x+2y-xy=7,\\2x+3y+xy=3;\end{cases}$$ 2) $$\begin{cases}x^2+2y^2+3xy=28,\\2x^2+y^2+3xy=20.\end{cases}$$

1. Решим первую систему:

   $$\begin{cases} 3x+2y-xy=7,\\ 2x+3y+xy=3. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$5x+5y=10,\quad x+y=2.$$

   Тогда $$y=2-x$$.

   Подставим во второе уравнение:

   $$2x+3(2-x)+x(2-x)=3;$$
   $$2x+6-3x+2x-x^2=3;$$
   $$x^2-x-3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=13,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.$$

   Тогда

   $$y_{1,2}=2-x_{1,2}=\frac{3\mp \sqrt{13}}{2}.$$

   Получаем решения:

   $$\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2};\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right),\quad \left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right).$$

2. Решим вторую систему:

   $$\begin{cases} x^2+2y^2+3xy=28,\\ 2x^2+y^2+3xy=20. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$3x^2+3y^2+6xy=48,$$
   $$x^2+2xy+y^2=16,$$
   $$(x+y)^2=16.$$

   Значит, $$x+y=4$$ или $$x+y=-4$$.

   1) Если $$x+y=-4$$, то $$y=-4-x$$. Подставим во второе уравнение:

   $$2x^2+(-4-x)^2+3x(-4-x)=20;$$
   $$2x^2+16+8x+x^2-12x-3x^2=20;$$
   $$4x=-4,\quad x=-1,\quad y=-3.$$

   2) Если $$x+y=4$$, то $$y=4-x$$. Подставим во второе уравнение:

   $$2x^2+(4-x)^2+3x(4-x)=20;$$
   $$2x^2+16-8x+x^2+12x-3x^2=20;$$
   $$4x=4,\quad x=1,\quad y=3.$$

   Получаем решения:

   $$(-1;-3),\quad (1;3).$$

Ответ

1) $$\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2};\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right);$$
2) $$(-1;-3),\ (1;3).$$