Упр.488 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции: 1) $$y=\sqrt{-x^2-3x+10}$$; 2) $$y=\left(\frac{x-7}{3-2x}\right)^{\frac14}$$; 3) $$y=\left(\frac{x+4}{6-x}\right)^{\frac13}$$; 4) $$y=\left(\frac{2x+15}{6}\right)^{\frac14}$$; 5) $$y=\left(\frac{x}{0{,}5x+1}\right)^{\frac14}$$; 6) $$y=\frac{\sqrt{x}}{x^2-4}$$.

1. $$y=\sqrt{-x^2-3x+10}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$-x^2-3x+10\ge 0$$

   $$x^2+3x-10\le 0$$

   $$x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$$

   $$-5\le x\le 2$$

2. $$y=\sqrt[4]{\frac{x-7}{3-2x}}$$

   Для корня четной степени нужно:

   $$\frac{x-7}{3-2x}\ge 0$$

   Так как $$3-2x=-(2x-3)$$, получаем:

   $$\frac{x-7}{2x-3}\le 0$$

   Отсюда:

   $$\frac{3}{2}<x\le 7$$

3. $$y=\sqrt[3]{\frac{x+4}{6-x}}$$

   Для кубического корня ограничение даёт только знаменатель:

   $$6-x\ne 0$$

   $$x\ne 6$$

4. $$y=\sqrt[4]{\frac{2x+15}{6}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\frac{2x+15}{6}\ge 0$$

   $$2x+15\ge 0$$

   $$x\ge -\frac{15}{2}$$

5. $$y=\sqrt[4]{\frac{x}{0{,}5x+1}}$$

   Требуется:

   $$\frac{x}{0{,}5x+1}\ge 0$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$2$$:

   $$\frac{2x}{x+2}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.

   Знак дроби неотрицателен при:

   $$x<-2 \quad \text{или} \quad x\ge 0$$

6. $$y=\frac{\sqrt{x}}{x^2-4}$$

   Нужно, чтобы:

   $$x\ge 0$$

   и

   $$x^2-4\ne 0$$

   $$x\ne \pm 2$$

   С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем:

   $$x\ne 2$$

Ответ

1) $$D(y)=[-5;2]$$

2) $$D(y)=\left(\frac{3}{2};7\right]$$

3) $$D(y)=(-\infty;6)\cup(6;+\infty)$$

4) $$D(y)=\left[-\frac{15}{2};+\infty\right)$$

5) $$D(y)=(-\infty;-2)\cup[0;+\infty)$$

6) $$D(y)=[0;2)\cup(2;+\infty)$$