Упр.469 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти координаты центра окружности радиуса $$3$$, лежащего на оси ординат, при условии, что окружность проходит через точку $$A(-2; 3)$$.

Пусть центр окружности лежит на оси ординат. Тогда его координаты имеют вид $$O(0;y).$$

Так как радиус окружности равен $$3$$, а окружность проходит через точку $$A(-2;3),$$ то расстояние от центра до этой точки равно радиусу:

$$(-2-0)^2+(3-y)^2=3^2.$$

Получаем:

$$4+9-6y+y^2=9,$$

$$y^2-6y+4=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 4=36-16=20,$$

$$y=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt5}{2}=3\pm\sqrt5.$$

Значит, возможны два центра окружности:

$$O_1(0;3-\sqrt5), \quad O_2(0;3+\sqrt5).$$

Ответ

$$\left(0;3-\sqrt5\right),\ \left(0;3+\sqrt5\right).$$