Упр.462 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
Определить, истинным или ложным является высказывание $$(?x)p(x); (?х)p(х)$$, если предложение $$p(x)$$ следующее:
- треугольник $$x$$ — прямоугольный;
- в треугольнике $$x$$ все биссектрисы являются и медианами;
- хорда $$x$$ некоторой окружности является её диаметром;
- сумма внутренних углов треугольника $$x$$ равна $$180^\circ$$;
- сумма внутренних углов четырёхугольника $$x$$ равна $$270^\circ$$;
- чётное число $$x$$ делится на $$4$$;
- чётное число $$x$$ делится на $$3$$;
- квадратный трёхчлен $$x$$ не имеет действительных корней.
$$p(x): \text{треугольник } x \text{ — прямоугольный}.$$
Не каждый треугольник прямоугольный, но существует прямоугольный треугольник.
$$\forall x\, p(x)\text{ — ложно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — истинно}.$$
$$p(x): \text{в треугольнике } x \text{ все биссектрисы являются и медианами}.$$
Такое верно не для любого треугольника, но существует равносторонний треугольник, в котором биссектрисы являются и медианами.
$$\forall x\, p(x)\text{ — ложно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — истинно}.$$
$$p(x): \text{хорда } x \text{ некоторой окружности является её диаметром}.$$
Не всякая хорда является диаметром, но такая хорда существует.
$$\forall x\, p(x)\text{ — ложно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — истинно}.$$
$$p(x): \text{сумма внутренних углов треугольника } x \text{ равна } 180^\circ.$$
Это верно для любого треугольника.
$$\forall x\, p(x)\text{ — истинно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — истинно}.$$
$$p(x): \text{сумма внутренних углов четырёхугольника } x \text{ равна } 270^\circ.$$
У любого четырёхугольника сумма внутренних углов равна $$360^\circ$$, значит такое утверждение неверно ни для одного четырёхугольника.
$$\forall x\, p(x)\text{ — ложно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — ложно}.$$
$$p(x): \text{чётное число } x \text{ делится на } 4.$$
Не каждое чётное число делится на 4, но, например, число $$4$$ делится на 4.
$$\forall x\, p(x)\text{ — ложно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — истинно}.$$
$$p(x): \text{чётное число } x \text{ делится на } 3.$$
Не каждое чётное число делится на 3, но, например, число $$6$$ делится на 3.
$$\forall x\, p(x)\text{ — ложно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — истинно}.$$
$$p(x): \text{квадратный трёхчлен } x \text{ не имеет действительных корней}.$$
Не каждый квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, но такой трёхчлен существует, например $$x^2+1$$.
$$\forall x\, p(x)\text{ — ложно}, \qquad \exists x\, p(x)\text{ — истинно}.$$
Ответ
1) $$\forall x\, p(x)$$ — ложно, $$\exists x\, p(x)$$ — истинно;
2) $$\forall x\, p(x)$$ — ложно, $$\exists x\, p(x)$$ — истинно;
3) $$\forall x\, p(x)$$ — ложно, $$\exists x\, p(x)$$ — истинно;
4) $$\forall x\, p(x)$$ — истинно, $$\exists x\, p(x)$$ — истинно;
5) $$\forall x\, p(x)$$ — ложно, $$\exists x\, p(x)$$ — ложно;
6) $$\forall x\, p(x)$$ — ложно, $$\exists x\, p(x)$$ — истинно;
7) $$\forall x\, p(x)$$ — ложно, $$\exists x\, p(x)$$ — истинно;
8) $$\forall x\, p(x)$$ — ложно, $$\exists x\, p(x)$$ — истинно.
