Упр.433 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2+y^2=36, x-y=3); 2) {(x^2+y^2=16, x+y=2);
3) {(y=|x|, (x-1)^2+y^2=9); 4) {(x^2+(y-2)^2=4, y=|x|).

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x^2+y^2=36,\\ x-y=3 \end{cases} $$
Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=6$$.
Второе уравнение можно записать так: $$y=x-3$$. Это прямая, проходящая через точки $$ (0;-3) $$ и $$ (3;0) $$.
Точки пересечения прямой и окружности:
$$ x^2+(x-3)^2=36 $$
$$ 2x^2-6x-27=0 $$
$$ x=\frac{6\pm\sqrt{36+216}}{4}=\frac{6\pm\sqrt{252}}{4}=\frac{3\pm3\sqrt7}{2} $$
Тогда
$$ y=x-3=\frac{-3\pm3\sqrt7}{2} $$
Следовательно, фигура — две точки пересечения.
$$ \begin{cases} x^2+y^2=16,\\ x+y=2 \end{cases} $$
Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=4$$.
Второе уравнение: $$y=2-x$$ — прямая.
Найдём точки пересечения:
$$ x^2+(2-x)^2=16 $$
$$ 2x^2-4x-12=0 $$
$$ x^2-2x-6=0 $$
$$ x=1\pm\sqrt7 $$
Тогда
$$ y=2-x=1\mp\sqrt7 $$
Фигура — две точки пересечения.
$$ \begin{cases} y=|x|,\\ (x-1)^2+y^2=9 \end{cases} $$
Уравнение $$y=|x|$$ задаёт ломаную из двух лучей: $$y=x$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=-x$$ при $$x\le 0$$.
Второе уравнение — окружность с центром $$C(1;0)$$ и радиусом $$R=3$$.
Найдём точки пересечения.
1) При $$x\ge 0$$: $$y=x$$, тогда
$$ (x-1)^2+x^2=9 $$
$$ 2x^2-2x-8=0 $$
$$ x^2-x-4=0 $$
$$ x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2} $$
Подходит только положительный корень:
$$ x=y=\frac{1+\sqrt{17}}{2} $$
2) При $$x\le 0$$: $$y=-x$$, тогда
$$ (x-1)^2+x^2=9 $$
$$ 2x^2-2x-8=0 $$
$$ x^2-x-4=0 $$
Подходит отрицательный корень:
$$ x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \qquad y=-x=\frac{\sqrt{17}-1}{2} $$
Фигура — две точки пересечения.
$$ \begin{cases} x^2+(y-2)^2=4,\\ y=|x| \end{cases} $$
Первое уравнение задаёт окружность с центром $$C(0;2)$$ и радиусом $$R=2$$.
Второе уравнение задаёт ломаную $$y=|x|$$.
Найдём точки пересечения.
1) При $$x\ge 0$$: $$y=x$$, тогда
$$ x^2+(x-2)^2=4 $$
$$ 2x^2-4x=0 $$
$$ 2x(x-2)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=2 $$
Получаем точки $$ (0;0) $$ и $$ (2;2) $$.
2) При $$x\le 0$$: $$y=-x$$, тогда
$$ x^2+(-x-2)^2=4 $$
$$ 2x^2+4x=0 $$
$$ 2x(x+2)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=-2 $$
Получаем точки $$ (0;0) $$ и $$ (-2;2) $$.
Итак, фигура состоит из трёх точек: $$(-2;2)$$, $$ (0;0) $$, $$ (2;2) $$.