Упр.412 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 412. Даны точки A(x_1; y_1) и В(х_2; y_2), и пусть С(х; у) — середина отрезка АВ. Доказать, что х=(x_1+x_2)/2, y=(y_1+y_2)/2.

Пусть точка $$C(x;y)$$ — середина отрезка $$AB$$, где $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2)$$.

Так как $$C$$ — середина отрезка, то $$AC=CB$$. Рассмотрим проекции на ось абсцисс:

$$|x_1-x|=|x_2-x|.$$

Если $$x_1<x<x_2$$, то

$$x-x_1=x_2-x,$$

откуда

$$2x=x_1+x_2,$$

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Если $$x_2<x<x_1$$, то

$$x_1-x=x-x_2,$$

откуда

$$x_1+x_2=2x,$$

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Аналогично для проекций на ось ординат:

$$|y_1-y|=|y_2-y|.$$

Следовательно,

$$y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$

Итак, координаты середины отрезка равны:

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$

Ответ

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$