Упр.406 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Установить, при каких значениях $$a$$ и $$b$$ равносильны системы уравнений:
   1) $$\begin{cases}(a-4)x+2y=4,\\6x+(b+3)y-3=0\end{cases}$$ и $$\begin{cases}8x+3y=1,\\5x-y+8=0\end{cases}$$;
   2) $$\begin{cases}3x+(a-2)y=12,\\(b+1)x+2y=6\end{cases}$$ и $$\begin{cases}7x+2y=10,\\9x+5y=8\end{cases}$$.

1. Найдём решение системы
   $$\begin{cases} 8x+3y=1,\\ 5x-y+8=0. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=5x+8.$$
   Подставим в первое:
   $$8x+3(5x+8)=1,$$
   $$8x+15x+24=1,$$
   $$23x=-23,$$
   $$x=-1.$$
   Тогда
   $$y=5\cdot(-1)+8=3.$$
   Подставим найденные значения в первую систему:
   $$\begin{cases} (a-4)x+2y=4,\\ 6x+(b+3)y-3=0. \end{cases}$$
   Получаем:
   $$(a-4)(-1)+2\cdot 3=4,$$
   $$4-a+6=4,$$
   $$a=6;$$
   $$6\cdot(-1)+(b+3)\cdot 3-3=0,$$
   $$-6+3b+9-3=0,$$
   $$3b=0,$$
   $$b=0.$$
2. Найдём решение системы
   $$\begin{cases} 7x+2y=10,\\ 9x+5y=8. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$2y=10-7x,$$
   $$y=5-3{,}5x.$$
   Подставим во второе:
   $$9x+5(5-3{,}5x)=8,$$
   $$9x+25-17{,}5x=8,$$
   $$-8{,}5x=-17,$$
   $$x=2.$$
   Тогда
   $$y=5-3{,}5\cdot 2=-2.$$
   Подставим найденные значения в первую систему:
   $$\begin{cases} 3x+(a-2)y=12,\\ (b+1)x+2y=6. \end{cases}$$
   Получаем:
   $$3\cdot 2+(a-2)(-2)=12,$$
   $$6-2a+4=12,$$
   $$2a=-2,$$
   $$a=-1;$$
   $$(b+1)\cdot 2+2\cdot(-2)=6,$$
   $$2b+2-4=6,$$
   $$2b=8,$$
   $$b=4.$$

Ответ

1) $$a=6,\ b=0.$$ 2) $$a=-1,\ b=4.$$