Упр.403 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 1/(x-8)+x^2=64+1/(x-8) и x^2=64;
2) 3x^2-9=0 и x+v3=0;
3) v(x+2)=x и x+2=x^2.

Подробный ответ

$$\frac{1}{x-8}+x^2=64+\frac{1}{x-8}$$ и $$x^2=64.$$
Второе уравнение получается из первого после сокращения одинаковых слагаемых $$\frac{1}{x-8}$$, значит, оно является следствием первого.
Решим второе уравнение:
$$x^2=64$$
$$x=\pm 8.$$
Но в первом уравнении должно быть $$x-8\ne 0,$$ то есть $$x\ne 8.$$
Следовательно, число $$8$$ является корнем второго уравнения, но не является корнем первого. Уравнения не равносильны.
$$3x^2-9=0$$ и $$x+\sqrt{3}=0.$$
Решим первое уравнение:
$$3x^2-9=0$$
$$3x^2=9$$
$$x^2=3$$
$$x=\pm \sqrt{3}.$$
Решим второе уравнение:
$$x+\sqrt{3}=0$$
$$x=-\sqrt{3}.$$
Первое уравнение имеет два корня, а второе — только один из них. Значит, уравнения не равносильны.
$$\sqrt{x+2}=x$$ и $$x+2=x^2.$$
Из первого уравнения следует, что $$x\ge 0.$$ Возведём его в квадрат:
$$\sqrt{x+2}=x$$
$$x+2=x^2.$$
Решим полученное уравнение:
$$x^2-x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
Но условию $$x\ge 0$$ удовлетворяет только $$x=2.$$
Значит, уравнение $$x+2=x^2$$ имеет лишний корень $$x=-1$$ и не равносильно уравнению $$\sqrt{x+2}=x.$$