Упр.402 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Установить, является ли второе уравнение следствием первого; равносильны ли эти уравнения:

1. $$2x-3=0$$ и $$2x^2-3x=0$$;
2. $$5x^2-2x+1=0$$ и $$x^2+4=0$$;
3. $$\frac{14x-15}{2x^2+1}=8$$ и $$14x-15=8(2x^2+1)$$.

1. $$2x-3=0$$

   $$2x=3$$

   $$x=\frac{3}{2}$$

   Второе уравнение:

   $$2x^2-3x=0$$

   $$x(2x-3)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=\frac{3}{2}$$

   Уравнение $$2x^2-3x=0$$ имеет лишний корень $$x=0$$, которого нет у первого уравнения. Значит, второе уравнение не является следствием первого, но при этом первое является следствием второго.

2. $$5x^2-2x+1=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot 1=4-20=-16$$

   Действительных корней нет.

   $$x^2+4=0$$

   $$x^2=-4$$

   Действительных корней нет.

   Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны, и второе является следствием первого.

3. $$\frac{14x-15}{2x^2+1}=8$$

   Так как $$2x^2+1>0$$ при любом $$x$$, область определения — все действительные числа.

   Умножим обе части уравнения на $$2x^2+1$$:

   $$14x-15=8(2x^2+1)$$

   Получили второе уравнение. Следовательно, оно равносильно первому и является его следствием.

Ответ

1) да; нет.

2) да; да.

3) да; да.