Упр.389 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти множество истинности для предложения $$\neg p(x)$$, если дано предложение $$p(x)$$:

1. $$-4\leq x\leq 2$$;
2. $$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$;
3. $$-x^2-3x+4=0$$;
4. $$x^2+9\geq 0$$.

1. Если $$p(x): -4 \le x \le 2,$$ то предложение $$\neg p(x)$$ истинно вне этого промежутка:

   $$x \in (-\infty; -4)\cup(2; +\infty).$$

2. Если $$p(x): x \in (-\infty; 2)\cup(3; +\infty),$$ то отрицание истинно на дополнении к этому множеству:

   $$x \in [2; 3].$$

3. Если $$p(x): -x^2-3x+4=0,$$ то сначала преобразуем уравнение:

   $$-x^2-3x+4=0 \\ x^2+3x-4=0$$

   Найдём корни:

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$

   $$x_1=-4,\quad x_2=1$$

   Значит, $$p(x)$$ истинно при $$x\in\{-4;1\},$$ а отрицание истинно при

   $$x\in(-\infty; -4)\cup(-4; 1)\cup(1; +\infty).$$

4. Если $$p(x): x^2+9\le 0,$$ то для любых действительных $$x$$ имеем $$x^2\ge 0,$$ значит

   $$x^2+9\ge 9>0.$$

   Следовательно, предложение $$p(x)$$ ложно при всех $$x\in\mathbb{R},$$ а его отрицание истинно при всех действительных числах:

   $$x\in\mathbb{R}.$$

Ответ

1) $$(-\infty; -4)\cup(2; +\infty)$$

2) $$[2; 3]$$

3) $$(-\infty; -4)\cup(-4; 1)\cup(1; +\infty)$$

4) $$\mathbb{R}$$