Упр.35 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Упростить:

   1) $$\left((x-2)^3\right)^{\frac{1}{3}}$$ при:

   а) $$x\geq 2$$; б) $$x<2$$;

   2) $$\sqrt{(3-x)^6}$$ при:

   а) $$x\leq 3$$; б) $$x>3$$.

1) Рассмотрим выражение $$\sqrt[3]{(x-2)^3}.$$

Для кубического корня верно: $$\sqrt[3]{a^3}=a$$ при любом действительном $$a$$. Поэтому

$$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

Значит,

а) при $$x \ge 2$$: $$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2;$$

б) при $$x < 2$$: $$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

2) Рассмотрим выражение $$\sqrt{(3-x)^6}.$$

Так как $$\sqrt{a^2}=|a|,$$ то

$$\sqrt{(3-x)^6}=\sqrt{\bigl((3-x)^3\bigr)^2}=|(3-x)^3|=|3-x|^3.$$

Теперь учитываем знак выражения $$3-x$$:

а) при $$x \le 3$$ имеем $$3-x \ge 0,$$ значит
$$|3-x|^3=(3-x)^3;$$

б) при $$x > 3$$ имеем $$3-x < 0,$$ значит
$$|3-x|^3=(x-3)^3.$$

Ответ

1) $$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2$$ при любом $$x$$;
2) $$\sqrt{(3-x)^6}=|3-x|^3,$$ то есть:
$$\begin{cases} (3-x)^3, & x \le 3,\\ (x-3)^3, & x > 3. \end{cases}$$