Упр.263 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что для геометрической прогрессии справедливо равенство $$b_n b_k=b_{n+l}b_{k-l}$$, где $$k>l$$. Вычислить $$b_1b_7$$, если $$b_3b_5=72$$.

Пусть $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$ — общий член геометрической прогрессии.

Тогда

$$b_n b_k=(b_1q^{\,n-1})(b_1q^{\,k-1})=b_1^2q^{\,n+k-2}.$$

С другой стороны, при $$k>l$$

$$b_{n+l}b_{k-l}=(b_1q^{\,n+l-1})(b_1q^{\,k-l-1})=b_1^2q^{\,n+k-2}.$$

Следовательно,

$$b_n b_k=b_{n+l}b_{k-l}.$$

Теперь найдём значение произведения $$b_1b_7$$. Так как

$$b_1b_7=b_{1+2}b_{7-2}=b_3b_5,$$

а по условию $$b_3b_5=72$$, то

$$b_1b_7=72.$$

Ответ

$$b_n b_k=b_{n+l}b_{k-l}; \quad b_1b_7=72.$$