Упр.263 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 263. Доказать, что для геометрической прогрессии справедливо равенство b_n b_k=b_(n+l) b_(k-l), где k > l. Вычислить b_1 b_7, если b_3 b_5=72. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 kolyagin9 263 95

Пусть $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$ — общий член геометрической прогрессии.

Тогда

$$ b_n b_k=(b_1q^{\,n-1})(b_1q^{\,k-1})=b_1^2q^{\,n+k-2}. $$

С другой стороны, при $$k>l$$

$$ b_{n+l}b_{k-l}=(b_1q^{\,n+l-1})(b_1q^{\,k-l-1})=b_1^2q^{\,n+k-2}. $$

Следовательно,

$$b_n b_k=b_{n+l}b_{k-l}.$$

Теперь найдём значение произведения $$b_1b_7$$. Так как

$$ b_1b_7=b_{1+2}b_{7-2}=b_3b_5, $$

а по условию $$b_3b_5=72$$, то

$$b_1b_7=72.$$

Ответ

$$b_n b_k=b_{n+l}b_{k-l}; \quad b_1b_7=72.$$