Упр.262 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 262. Доказать, что для геометрической прогрессии справедливо равенство (b_n)^2=b_(n+k) b_(n-k), где n > k. Вычислить b_7, если b_3 b_11=225.

Пусть $$\left(b_n\right)$$ — геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q$$. Тогда

$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

Докажем равенство:

$$b_n^2=b_{n+k}b_{n-k}, \quad n>k.$$

Действительно,

$$b_n^2=\left(b_1q^{\,n-1}\right)^2=b_1^2q^{\,2n-2},$$

а также

$$b_{n+k}b_{n-k}=\left(b_1q^{\,n+k-1}\right)\left(b_1q^{\,n-k-1}\right)=b_1^2q^{\,2n-2}.$$

Следовательно,

$$b_n^2=b_{n+k}b_{n-k}.$$

Теперь найдём $$b_7$$, если $$b_3b_{11}=225$$.

По доказанному равенству при $$n=7$$ и $$k=4$$ получаем:

$$b_7^2=b_{7+4}b_{7-4}=b_{11}b_3=225.$$

Значит,

$$b_7=\pm\sqrt{225}=\pm 15.$$

Ответ

$$b_n^2=b_{n+k}b_{n-k}; \quad b_7=\pm 15.$$