Упр.26 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (a^(-3)+b^(-3))·(a^(-2)-b^(-2))^(-1)·(a^(-2)-a^(-1)b^(-1)+b^(-2))^(-1);
2) (a^(-2)b-ab^(-2))·(a^(-2)+a^(-1)b^(-1)+b^(-2))^(-1).

1. $$\left(a^{-3}+b^{-3}\right)\cdot\left(a^{-2}-b^{-2}\right)^{-1}\cdot\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1}$$

   Представим первые скобки в виде произведения:
   $$a^{-3}+b^{-3}=(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})$$
   Тогда
   $$ \left(a^{-3}+b^{-3}\right)\cdot\left(a^{-2}-b^{-2}\right)^{-1}\cdot\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1} = \frac{(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})} $$
   Сократим на $$a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$:
   $$ =\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}} $$
   Разложим разность квадратов:
   $$ a^{-2}-b^{-2}=(a^{-1}+b^{-1})(a^{-1}-b^{-1}) $$
   Тогда
   $$ \frac{a^{-1}+b^{-1}}{(a^{-1}+b^{-1})(a^{-1}-b^{-1})} =\frac{1}{a^{-1}-b^{-1}} =\frac{ab}{b-a} $$

2. $$\left(a^{-2}b-ab^{-2}\right)\cdot\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1}$$

   Вынесем общий множитель:
   $$ a^{-2}b-ab^{-2}=ab\left(a^{-3}-b^{-3}\right) $$
   Тогда
   $$ \left(a^{-2}b-ab^{-2}\right)\cdot\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1} = \frac{ab\left(a^{-3}-b^{-3}\right)}{a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}} $$
   Разложим разность кубов:
   $$ a^{-3}-b^{-3}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}) $$
   Тогда
   $$ \frac{ab(a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}} =ab(a^{-1}-b^{-1}) =b-a $$

Ответ

1) $$\frac{ab}{b-a}$$; 2) $$b-a$$.