Упр.26 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Упростить:

1. 1) $$\left(a^{-3}+b^{-3}\right)\cdot\left(a^{-2}-b^{-2}\right)^{-1}\cdot\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1}$$;
   2) $$\left(a^{-2}b-ab^{-2}\right)\cdot\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1}$$.

1. $$\left(a^{-3}+b^{-3}\right)\cdot\left(a^{-2}-b^{-2}\right)^{-1}\cdot\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1}$$

   Представим первые скобки в виде произведения:
   $$a^{-3}+b^{-3}=(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})$$
   Тогда
   $$\left(a^{-3}+b^{-3}\right)\cdot\left(a^{-2}-b^{-2}\right)^{-1}\cdot\left(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1} = \frac{(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}$$
   Сократим на $$a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}$$:
   $$=\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}}$$
   Разложим разность квадратов:
   $$a^{-2}-b^{-2}=(a^{-1}+b^{-1})(a^{-1}-b^{-1})$$
   Тогда
   $$\frac{a^{-1}+b^{-1}}{(a^{-1}+b^{-1})(a^{-1}-b^{-1})} =\frac{1}{a^{-1}-b^{-1}} =\frac{ab}{b-a}$$

2. $$\left(a^{-2}b-ab^{-2}\right)\cdot\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1}$$

   Вынесем общий множитель:
   $$a^{-2}b-ab^{-2}=ab\left(a^{-3}-b^{-3}\right)$$
   Тогда
   $$\left(a^{-2}b-ab^{-2}\right)\cdot\left(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}\right)^{-1} = \frac{ab\left(a^{-3}-b^{-3}\right)}{a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}}$$
   Разложим разность кубов:
   $$a^{-3}-b^{-3}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2})$$
   Тогда
   $$\frac{ab(a^{-1}-b^{-1})(a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2})}{a^{-2}+a^{-1}b^{-1}+b^{-2}} =ab(a^{-1}-b^{-1}) =b-a$$

Ответ

1) $$\frac{ab}{b-a}$$; 2) $$b-a$$.