Упр.232 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) q, если b_1=1 и b_3+b_5=90;
2) q, если b_2=3 и b_4+b_6=60;
3) S_10, если b_1-b_3=15 и b_2-b_4=30;
4) S_5, если b_3-b_1=24 и b_5-b_1=624.

Подробный ответ

Пусть $$b_n=b_1q^{n-1}$$. Тогда
$$b_3+b_5=1\cdot q^2+1\cdot q^4=90,$$
$$q^4+q^2-90=0.$$
Обозначим $$x=q^2$$. Получаем
$$x^2+x-90=0,$$
$$D=1+360=361,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 19}{2}.$$
$$x_1=9,\quad x_2=-10.$$
Так как $$x=q^2\ge 0$$, то $$q^2=9$$, значит
$$q=\pm 3.$$
Имеем $$b_2=3$$, значит $$b_1q=3$$. Тогда
$$b_4+b_6=b_1q^3+b_1q^5=60,$$
$$b_1q^3(1+q^2)=60.$$
Так как $$b_1q=3$$, то $$b_1q^3=3q^2$$. Получаем
$$3q^2(1+q^2)=60,$$
$$q^4+q^2-20=0.$$
Пусть $$x=q^2$$. Тогда
$$x^2+x-20=0,$$
$$D=1+80=81,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$
$$x_1=4,\quad x_2=-5.$$
Следовательно, $$q^2=4$$, откуда
$$q=\pm 2.$$
$$b_1-b_3=15,\quad b_2-b_4=30.$$
Запишем через $$b_1$$ и $$q$$:
$$b_1-b_1q^2=15,$$
$$b_1q-b_1q^3=30.$$
Вынесем общий множитель:
$$b_1(1-q^2)=15,$$
$$b_1q(1-q^2)=30.$$
Делим второе равенство на первое:
$$q=\frac{30}{15}=2.$$
Тогда
$$b_1(1-2^2)=15,$$
$$-3b_1=15,$$
$$b_1=-5.$$
Сумма первых 10 членов:
$$S_{10}=\frac{b_1(q^{10}-1)}{q-1}=\frac{-5(2^{10}-1)}{2-1}=-5\cdot 1023=-5115.$$
$$b_3-b_1=24,\quad b_5-b_1=624.$$
Тогда
$$b_1q^2-b_1=24,$$
$$b_1q^4-b_1=624.$$
Вынесем $$b_1$$:
$$b_1(q^2-1)=24,$$
$$b_1(q^4-1)=624.$$
Так как $$q^4-1=(q^2-1)(q^2+1)$$, то
$$b_1(q^2-1)(q^2+1)=624.$$
Подставим $$b_1(q^2-1)=24$$:
$$24(q^2+1)=624,$$
$$q^2+1=26,$$
$$q^2=25,$$
$$q=\pm 5.$$
Найдём $$b_1$$:
$$b_1=\frac{24}{25-1}=1.$$
Сумма первых 5 членов:
$$S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}.$$
При $$q=5$$:
$$S_5=\frac{1-5^5}{1-5}=\frac{3124}{4}=781.$$
При $$q=-5$$:
$$S_5=\frac{1-(-5)^5}{1-(-5)}=\frac{1+3125}{6}=521.$$