Упр.231 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) b_1 и q, если b_3=135, S_3=195;
2) q и b_3, если b_1=12, S_3=372.

1) Для суммы первых трёх членов геометрической прогрессии используем формулу:

$$S_3=b_1(q^2+q+1).$$

Так как $$b_3=b_1q^2,$$ то $$b_1=\dfrac{b_3}{q^2}.$$ Подставим в формулу суммы:

$$195=\dfrac{135}{q^2}(q^2+q+1).$$

Умножим на $$q^2$$:

$$195q^2=135(q^2+q+1).$$

$$60q^2-135q-135=0,$$

$$4q^2-9q-9=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-9)^2-4\cdot 4\cdot(-9)=81+144=225,$$

$$q=\dfrac{9\pm 15}{8}.$$

Тогда

$$q_1=-\dfrac{3}{4}, \qquad q_2=3.$$

Найдём $$b_1$$:

$$b_1=\dfrac{135}{q^2}.$$

Если $$q=-\dfrac{3}{4},$$ то

$$b_1=\dfrac{135}{\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2}=135\cdot \dfrac{16}{9}=240.$$

Если $$q=3,$$ то

$$b_1=\dfrac{135}{3^2}=\dfrac{135}{9}=15.$$

2) Теперь дано $$b_1=12,$$ $$S_3=372.$$ Используем ту же формулу:

$$372=12(q^2+q+1).$$

$$q^2+q+1=31,$$

$$q^2+q-30=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+120=121,$$

$$q=\dfrac{-1\pm 11}{2}.$$

Получаем:

$$q_1=-6, \qquad q_2=5.$$

Теперь найдём $$b_3=b_1q^2$$:

если $$q=-6,$$ то

$$b_3=12\cdot (-6)^2=12\cdot 36=432;$$

если $$q=5,$$ то

$$b_3=12\cdot 5^2=12\cdot 25=300.$$

Ответ

1) $$b_1=240,\ q=-\dfrac{3}{4}$$ или $$b_1=15,\ q=3.$$

2) $$q=-6,\ b_3=432$$ или $$q=5,\ b_3=300.$$