Упр.230 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+1)=x^n-1,
где n — натуральное число, большее 1.

Рассмотрим сумму

$$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1.$$

Это сумма членов геометрической прогрессии, где

$$b_1=x^{n-1}, \quad q=\frac{x^{n-2}}{x^{n-1}}=\frac1x=x^{-1}.$$

Тогда

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{x^{n-1}\left(1-x^{-n}\right)}{1-x^{-1}}.$$

Упростим:

$$S_n=\frac{x^{n-1}-x^{-1}}{1-x^{-1}}=\frac{x^n-1}{x-1}.$$

Теперь умножим обе части на $$x-1$$:

$$\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1\right)=x^n-1.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1\right)=x^n-1.$$