Упр.222 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти сумму первых $$n$$ членов геометрической прогрессии, если: 1) $$b_1=\frac{1}{2}$$, $$q=2$$, $$n=6$$; 2) $$b_1=-2$$, $$q=\frac{1}{2}$$, $$n=5$$; 3) $$b_1=1$$, $$q=-\frac{1}{3}$$, $$n=4$$; 4) $$b_1=-5$$, $$q=-\frac{2}{3}$$, $$n=5$$; 5) $$b_1=6$$, $$q=1$$, $$n=200$$; 6) $$b_1=-4$$, $$q=1$$, $$n=100$$.

1. $$b_1=\frac12,\ q=2,\ n=6$$

   Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $$q\ne 1$$:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

   Тогда

   $$S_6=\frac{\frac12(2^6-1)}{2-1}=\frac{\frac12\cdot 63}{1}=\frac{63}{2}=31{,}5$$

2. $$b_1=-2,\ q=\frac12,\ n=5$$

   $$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$

   Тогда

   $$S_5=\frac{-2\left(1-\left(\frac12\right)^5\right)}{1-\frac12} =\frac{-2\left(1-\frac1{32}\right)}{\frac12} =-4\cdot\frac{31}{32} =-\frac{31}{8}$$

3. $$b_1=1,\ q=-\frac13,\ n=4$$

   $$S_4=\frac{1-\left(-\frac13\right)^4}{1-\left(-\frac13\right)} =\frac{1-\frac1{81}}{1+\frac13} =\frac{\frac{80}{81}}{\frac43} =\frac{20}{27}$$

4. $$b_1=-5,\ q=-\frac23,\ n=5$$

   $$S_5=\frac{-5\left(1-\left(-\frac23\right)^5\right)}{1-\left(-\frac23\right)} =\frac{-5\left(1+\frac{32}{243}\right)}{1+\frac23} =\frac{-5\cdot \frac{275}{243}}{\frac53} =-\frac{275}{81}$$

5. $$b_1=6,\ q=1,\ n=200$$

   Если $$q=1$$, то все члены прогрессии равны $$6$$, значит

   $$S_{200}=200\cdot 6=1200$$

6. $$b_1=-4,\ q=1,\ n=100$$

   Тогда

   $$S_{100}=100\cdot(-4)=-400$$

Ответ

1) $$31{,}5$$; 2) $$-\frac{31}{8}$$; 3) $$\frac{20}{27}$$; 4) $$-\frac{275}{81}$$; 5) $$1200$$; 6) $$-400$$.