Упр.219 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 219. Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Доказать, что последовательность площадей этих квадратов является геометрической прогрессией. Найти площадь седьмого квадрата. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 kolyagin9 219 95

Пусть сторона $$n$$-го квадрата равна $$b_n$$ см.

Найдём отношение сторон соседних квадратов. Сторона следующего квадрата равна диагонали квадрата со стороной $$\frac{b_n}{2}$$, поэтому

$$ b_{n+1}=\sqrt{\left(\frac{b_n}{2}\right)^2+\left(\frac{b_n}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{b_n^2}{4}+\frac{b_n^2}{4}} =\sqrt{\frac{2b_n^2}{4}} =\frac{b_n}{\sqrt{2}}. $$

Тогда

$$ \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$

Площади квадратов образуют геометрическую прогрессию, так как

$$ \frac{S_{n+1}}{S_n}=\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}. $$

Значит, знаменатель прогрессии равен $$q=\frac{1}{2}$$, а первая площадь

$$ S_1=4^2=16. $$

Тогда

$$ S_7=S_1q^6=16\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}=0{,}25. $$

Ответ

Последовательность площадей является геометрической прогрессией, $$q=\frac{1}{2}$$, $$S_7=0{,}25\ \text{см}^2$$.