Упр.210 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
- Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена, является геометрической прогрессией:
1) $$b_n=3\cdot2^n$$;
2) $$b_n=5^{n+3}$$;
3) $$b_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}$$;
4) $$b_n=\frac{1}{5^{n-1}}$$.
$$b_n=3\cdot 2^n$$
Найдём отношение соседних членов:
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot 2^{n+1}}{3\cdot 2^n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
$$b_n=5^{n+3}$$
Найдём отношение соседних членов:
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{5^{(n+1)+3}}{5^{n+3}}=\frac{5^{n+4}}{5^{n+3}}=5.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
$$b_n=\left(\frac13\right)^{n-2}$$
Найдём отношение соседних членов:
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(\frac13\right)^{(n+1)-2}}{\left(\frac13\right)^{n-2}}=\left(\frac13\right)^{(n-1)-(n-2)}=\frac13.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
$$b_n=\frac{1}{5^{n-1}}$$
Найдём отношение соседних членов:
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{1}{5^n}}{\frac{1}{5^{n-1}}}=\frac{5^{n-1}}{5^n}=\frac15.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
Ответ
Во всех четырёх случаях последовательность является геометрической прогрессией: $$q=2,\; q=5,\; q=\frac13,\; q=\frac15.$$
