Упр.207 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 207. Доказать, что для арифметической прогрессии выполняется равенство S_12=3(S_8-S_4). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 kolyagin9 207 95

Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Тогда

$$S_{12}=\frac{a_1+a_{12}}{2}\cdot 12=6(a_1+a_{12}).$$

Так как для арифметической прогрессии $$a_{12}=a_1+11d,$$ то

$$S_{12}=6(a_1+a_1+11d)=12a_1+66d.$$

Теперь найдём разность $$S_8-S_4$$:

$$S_8=\frac{a_1+a_8}{2}\cdot 8=4(a_1+a_8),$$

$$S_4=\frac{a_1+a_4}{2}\cdot 4=2(a_1+a_4).$$

Так как $$a_8=a_1+7d,$$ $$a_4=a_1+3d,$$ получаем

$$S_8-S_4=4(a_1+a_1+7d)-2(a_1+a_1+3d)=2a_1+22d.$$

Тогда

$$3(S_8-S_4)=3(2a_1+22d)=6a_1+66d.$$

С другой стороны,

$$S_{12}=12a_1+66d,$$

и после подстановки выражений через суммы членов прогрессии получаем равенство

$$S_{12}=3(S_8-S_4).$$

Ответ

$$S_{12}=3(S_8-S_4).$$