Упр.206 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 9 класс, Просвещение: 206. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если S_5=65 и S_10=230.

Для арифметической прогрессии используем формулу суммы первых n членов:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Тогда для первых пяти членов:

$$S_5=\frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5=65,$$

где $$a_5=a_1+4d.$$

Подставим:

$$\frac{a_1+a_1+4d}{2}\cdot 5=65,$$

$$2a_1+4d=26,$$

$$a_1+2d=13.$$

Теперь запишем сумму первых десяти членов:

$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=230,$$

где $$a_{10}=a_1+9d.$$

Подставим:

$$\frac{a_1+a_1+9d}{2}\cdot 10=230,$$

$$2a_1+9d=46.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 2a_1+4d=26,\\ 2a_1+9d=46. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$5d=20,$$

$$d=4.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+4\cdot 4=26,$$

$$2a_1=10,$$

$$a_1=5.$$

Ответ

$$a_1=5,\quad d=4.$$