Упр.191 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если для всех членов некоторой последовательности, начиная со второго, справедливо равенство $$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$, то эта последовательность является арифметической прогрессией.
2. Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство $$a_n=\frac{a_{n+k}+a_{n-k}}{2}$$, $$n>k$$. Найти $$a_{20}$$, если $$a_{10}+a_{30}=120$$.

1) Если для всех $$n \ge 2$$ выполняется

$$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},$$

то

$$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}.$$

Перенесём слагаемые:

$$a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n.$$

Значит, разность соседних членов последовательности постоянна. Следовательно, это арифметическая прогрессия.

2) Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+d(n-1)$$ имеем:

$$a_{n+k}=a_1+d(n+k-1),$$

$$a_{n-k}=a_1+d(n-k-1).$$

Тогда

$$\frac{a_{n+k}+a_{n-k}}{2}=\frac{a_1+d(n+k-1)+a_1+d(n-k-1)}{2}$$

$$=\frac{2a_1+d(2n-2)}{2}=a_1+d(n-1)=a_n.$$

Значит,

$$a_n=\frac{a_{n+k}+a_{n-k}}{2}, \quad n>k.$$

Найдём $$a_{20}$$:

$$a_{20}=\frac{a_{10}+a_{30}}{2}=\frac{120}{2}=60.$$

Ответ

1) Последовательность является арифметической прогрессией. 2) $$a_n=\frac{a_{n+k}+a_{n-k}}{2}$$ при $$n>k$$. $$a_{20}=60$$.