Упр.190 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти a_10+a_5, если a_7+a_8=30.

Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда

$$a_n=a_1+d(n-1), \qquad a_k=a_1+d(k-1).$$

Рассмотрим левую и правую части равенства:

$$a_n+a_k=\bigl(a_1+d(n-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(k-1)\bigr)=2a_1+d(n+k-2).$$

Теперь найдём правую часть:

$$a_{n-l}+a_{k+l}=\bigl(a_1+d(n-l-1)\bigr)+\bigl(a_1+d(k+l-1)\bigr)=2a_1+d(n+k-2).$$

Следовательно,

$$a_n+a_k=a_{n-l}+a_{k+l}, \qquad n>l.$$

Теперь найдём значение выражения $$a_{10}+a_5$$. По доказанному равенству при $$n=10$$, $$k=5$$, $$l=3$$ получаем:

$$a_{10}+a_5=a_{10-3}+a_{5+3}=a_7+a_8=30.$$

Ответ

$$30$$