Упр.170 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) a_(n+1)=v((a_n)^2+3); 2) a_(n+1)=v((a_n)^2/3).

1) $$a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+3}.$$

Вычислим последовательно:

$$a_2=\sqrt{a_1^2+3}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2,$$
$$a_3=\sqrt{a_2^2+3}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7},$$
$$a_4=\sqrt{a_3^2+3}=\sqrt{7+3}=\sqrt{10},$$
$$a_5=\sqrt{a_4^2+3}=\sqrt{10+3}=\sqrt{13},$$
$$a_6=\sqrt{a_5^2+3}=\sqrt{13+3}=\sqrt{16}=4.$$

Первые шесть членов последовательности:

$$1;\ 2;\ \sqrt{7};\ \sqrt{10};\ \sqrt{13};\ 4.$$

2) $$a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n^2}{3}}.$$

Так как все члены последовательности положительны, то

$$a_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n^2}{3}}=\frac{a_n}{\sqrt{3}}.$$

Тогда:

$$a_2=\sqrt{\frac{1^2}{3}}=\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{3},$$
$$a_3=\sqrt{\frac{a_2^2}{3}}=\sqrt{\frac{1/3}{3}}=\sqrt{\frac19}=\frac13,$$
$$a_4=\sqrt{\frac{a_3^2}{3}}=\sqrt{\frac{1/9}{3}}=\sqrt{\frac1{27}}=\frac{\sqrt3}{9},$$
$$a_5=\sqrt{\frac{a_4^2}{3}}=\sqrt{\frac{1/27}{3}}=\sqrt{\frac1{81}}=\frac19,$$
$$a_6=\sqrt{\frac{a_5^2}{3}}=\sqrt{\frac{1/81}{3}}=\sqrt{\frac1{243}}=\frac{\sqrt3}{27}.$$

Первые шесть членов последовательности:

$$1;\ \frac{\sqrt3}{3};\ \frac13;\ \frac{\sqrt3}{9};\ \frac19;\ \frac{\sqrt3}{27}.$$

Ответ

1) $$1;\ 2;\ \sqrt7;\ \sqrt{10};\ \sqrt{13};\ 4.$$

2) $$1;\ \frac{\sqrt3}{3};\ \frac13;\ \frac{\sqrt3}{9};\ \frac19;\ \frac{\sqrt3}{27}.$$