Упр.160 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство: $$\left(3x+1\right)^4>625$$;
2. $$\left(3x^2+5x\right)^5?32$$.

1) $$(3x+1)^4>625$$

Так как $$625=5^4$$, получаем:

$$(3x+1)^4-5^4>0$$

$$\big((3x+1)^2-25\big)\big((3x+1)^2+25\big)>0$$

Второй множитель всегда положителен, значит:

$$(3x+1)^2-25>0$$

$$\big((3x+1)-5\big)\big((3x+1)+5\big)>0$$

$$(3x-4)(3x+6)>0$$

Отсюда:

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac{4}{3}.$$

2) $$(3x^2+5x)^5\le 32$$

Так как $$32=2^5$$ и функция $$y=t^5$$ возрастает, то:

$$3x^2+5x\le 2$$

$$3x^2+5x-2\le 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 3}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{1}{3}$$

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями:

$$-2\le x\le \frac{1}{3}.$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right)$$

2) $$x\in\left[-2;\frac{1}{3}\right]$$