Упр.160 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (3x+1)^4 > 625; 2) (3x^2+5x)^5?32.

1) $$ (3x+1)^4>625 $$

Так как $$625=5^4$$, получаем:

$$ (3x+1)^4-5^4>0 $$

$$ \big((3x+1)^2-25\big)\big((3x+1)^2+25\big)>0 $$

Второй множитель всегда положителен, значит:

$$ (3x+1)^2-25>0 $$

$$ \big((3x+1)-5\big)\big((3x+1)+5\big)>0 $$

$$ (3x-4)(3x+6)>0 $$

Отсюда:

$$ x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac{4}{3}. $$

2) $$ (3x^2+5x)^5\le 32 $$

Так как $$32=2^5$$ и функция $$y=t^5$$ возрастает, то:

$$ 3x^2+5x\le 2 $$

$$ 3x^2+5x-2\le 0 $$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49 $$

$$ x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 3} $$

$$ x_1=-2,\quad x_2=\frac{1}{3} $$

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями:

$$ -2\le x\le \frac{1}{3}. $$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac{4}{3};+\infty\right)$$

2) $$x\in\left[-2;\frac{1}{3}\right]$$