Упр.153 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
- Найти координаты точек пересечения графиков функций: 1) $$y=x^2$$, $$y=x^3$$; 2) $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=2x$$; 3) $$y=\sqrt{x}$$, $$y=|x|$$; 4) $$y=x^{\frac{1}{3}}$$, $$y=\frac{1}{x}$$.
$$y=x^2,\quad y=x^3$$
Приравняем значения функций:
$$x^2=x^3$$
$$x^3-x^2=0$$
$$x^2(x-1)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$.
Найдём соответствующие значения $$y$$:
при $$x=0$$ получаем $$y=0$$, при $$x=1$$ получаем $$y=1$$.
Точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1)$$.
$$y=\frac{1}{x},\quad y=2x$$
Приравняем:
$$\frac{1}{x}=2x$$
$$1=2x^2$$
$$x^2=\frac{1}{2}$$
$$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Найдём $$y$$:
$$y=2x=\pm \sqrt{2}$$
Точки пересечения: $$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}};-\sqrt{2}\right),\ \left(\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2}\right).$$
$$y=\sqrt{x},\quad y=|x|$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то для равенства с $$|x|$$ нужно, чтобы $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$, и получаем:
$$\sqrt{x}=x$$
Возведём в квадрат:
$$x=x^2$$
$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x=0$$ или $$x=1$$.
Соответствующие значения $$y$$: $$y=0$$ и $$y=1$$.
Точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1)$$.
$$y=\sqrt[3]{x},\quad y=\frac{1}{x}$$
Приравняем:
$$\sqrt[3]{x}=\frac{1}{x}$$
Возведём обе части в куб:
$$x=\frac{1}{x^3}$$
$$x^4=1$$
$$x=\pm 1$$
Найдём $$y$$:
при $$x=1$$ имеем $$y=1$$, при $$x=-1$$ имеем $$y=-1$$.
Точки пересечения: $$(-1;-1),\ (1;1)$$.
Ответ
1) $$(0;0),\ (1;1)$$; 2) $$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}};-\sqrt{2}\right),\ \left(\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2}\right)$$; 3) $$(0;0),\ (1;1)$$; 4) $$(-1;-1),\ (1;1)$$.
