Упр.15 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Вычислить значение выражения:
   1) $$\left(x^2y^{-2}-4y^{-2}\right)\cdot\left(\frac{1}{y}\right)^{-2}$$ при $$x=5,\ y=6{,}7$$;
   2) $$\left((a^2b^{-1})^4-a^0b^4\right):\frac{a^4-b^4}{b^2}$$ при $$a=2,\ b=-3$$.

1) Упростим выражение:

$$(x^2y^{-2}-4y^{-2})\cdot \left(\frac{1}{y}\right)^{-2} = \frac{x^2y^{-2}-4y^{-2}}{y^{-2}} = x^2-4.$$

Подставим $$x=5$$:

$$x^2-4=5^2-4=25-4=21.$$

2) Упростим выражение:

$$\left((a^2b^{-1})^4-a^0b^4\right):\frac{a^4-b^4}{b^2} = \frac{(a^2b^{-1})^4-a^0b^4}{\frac{a^4-b^4}{b^2}}.$$

Так как $$a^0=1$$, а $$\left(a^2b^{-1}\right)^4=a^8b^{-4}$$, получаем:

$$\frac{a^8b^{-4}-b^4}{\frac{a^4-b^4}{b^2}} = \frac{b^{-4}(a^8-b^8)\cdot b^2}{a^4-b^4} = \frac{b^{-2}(a^8-b^8)}{a^4-b^4}.$$

Разложим разность степеней:

$$a^8-b^8=(a^4-b^4)(a^4+b^4).$$

Тогда

$$\frac{b^{-2}(a^8-b^8)}{a^4-b^4} = \frac{a^4+b^4}{b^2}.$$

Подставим $$a=2$$, $$b=-3$$:

$$\frac{a^4+b^4}{b^2} = \frac{2^4+(-3)^4}{(-3)^2} = \frac{16+81}{9} = \frac{97}{9} = 10\frac{7}{9}.$$

Ответ

1) $$21$$; 2) $$10\frac{7}{9}$$.