Упр.142 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) v(x^2-4x+9)=2x-5; 2) v(x^2+3x+6)=3x+8;
3) 2x=1+v(x^2+5); 4) x+v(13-4x)=4.

1. $$\sqrt{x^2-4x+9}=2x-5$$
   
   Возведём обе части в квадрат:
   $$x^2-4x+9=4x^2-20x+25$$
   $$3x^2-16x+16=0$$
   $$D=(-16)^2-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64$$
   $$x_{1,2}=\frac{16\pm 8}{2\cdot 3}$$
   $$x_1=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},\quad x_2=\frac{24}{6}=4$$
   Проверка:
   $$2\cdot \frac{4}{3}-5=\frac{8}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{7}{3}<0$$ значит, $x=\frac{4}{3}$ не подходит. $$\sqrt{4^2-4\cdot 4+9}=3,\quad 2\cdot 4-5=3$$ Подходит $x=4$.
2. $$\sqrt{x^2+3x+6}=3x+8$$
   Возведём обе части в квадрат:
   $$x^2+3x+6=9x^2+48x+64$$
   $$8x^2+45x+58=0$$
   $$D=45^2-4\cdot 8\cdot 58=2025-1856=169$$
   $$x_{1,2}=\frac{-45\pm 13}{2\cdot 8}$$
   $$x_1=\frac{-58}{16}=-\frac{29}{8},\quad x_2=\frac{-32}{16}=-2$$
   Проверка:
   $$3\cdot \left(-\frac{29}{8}\right)+8=-\frac{87}{8}+\frac{64}{8}=-\frac{23}{8}<0$$ значит, $x=-\frac{29}{8}$ не подходит. $$\sqrt{(-2)^2+3\cdot (-2)+6}=2,\quad 3\cdot (-2)+8=2$$ Подходит $x=-2$.
3. $$2x=1+\sqrt{x^2+5}$$
   $$\sqrt{x^2+5}=2x-1$$
   Возведём обе части в квадрат:
   $$x^2+5=4x^2-4x+1$$
   $$3x^2-4x-4=0$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot (-4)=16+48=64$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2\cdot 3}$$
   $$x_1=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3},\quad x_2=\frac{12}{6}=2$$
   Проверка:
   $$2\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)-1=-\frac{4}{3}-1=-\frac{7}{3}<0$$ значит, $x=-\frac{2}{3}$ не подходит. $$\sqrt{2^2+5}=3,\quad 2\cdot 2-1=3$$ Подходит $x=2$.
4. $$x+\sqrt{13-4x}=4$$
   $$\sqrt{13-4x}=4-x$$
   Возведём обе части в квадрат:
   $$13-4x=16-8x+x^2$$
   $$x^2-4x+3=0$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=3$$
   Проверка:
   $$1+\sqrt{13-4\cdot 1}=1+\sqrt{9}=4$$
   $$3+\sqrt{13-4\cdot 3}=3+\sqrt{1}=4$$
   Оба корня подходят.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$-2$$; 3) $$2$$; 4) $$1,\,3$$.