Упр.140 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) (x-1)^3 > 1; 2) (x+5)^3 > 8; 3) (2x-3)^7?1;
4) (3x-5)^7 < 1; 5) (3-x)^4 > 256; 6) (4-x)^4 > 81.

1. $$ (x-1)^3>1 $$

   Так как функция $$y=t^3$$ возрастает на всей числовой прямой, то

   $$ x-1>1 $$

   $$ x>2 $$

   Ответ: $$x\in(2;+\infty)$$.

2. $$ (x+5)^3>8 $$

   Так как функция $$y=t^3$$ возрастает, получаем

   $$ x+5>2 $$

   $$ x>-3 $$

   Ответ: $$x\in(-3;+\infty)$$.

3. $$ (2x-3)^7\ge 1 $$

   Так как функция $$y=t^7$$ возрастает, то

   $$ 2x-3\ge 1 $$

   $$ 2x\ge 4 $$

   $$ x\ge 2 $$

   Ответ: $$x\in[2;+\infty)$$.

4. $$ (3x-5)^7<1 $$

   Так как функция $$y=t^7$$ возрастает, получаем

   $$ 3x-5<1 $$

   $$ 3x<6 $$

   $$ x<2 $$

   Ответ: $$x\in(-\infty;2)$$.

5. $$ (3-x)^4>256 $$

   $$ (3-x)^4-256>0 $$

   $$ \big((3-x)^2-16\big)\big((3-x)^2+16\big)>0 $$

   Так как $$\big((3-x)^2+16\big)>0$$ при любых $$x$$, то

   $$ (3-x)^2-16>0 $$

   $$ (3-x-4)(3-x+4)>0 $$

   $$ (x+1)(x-7)>0 $$

   Отсюда

   $$ x<-1 \quad \text{или} \quad x>7 $$

   Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(7;+\infty)$$.

6. $$ (4-x)^4>81 $$

   $$ (4-x)^4-81>0 $$

   $$ \big((4-x)^2-9\big)\big((4-x)^2+9\big)>0 $$

   Так как $$\big((4-x)^2+9\big)>0$$ при любых $$x$$, то

   $$ (4-x)^2-9>0 $$

   $$ (4-x-3)(4-x+3)>0 $$

   $$ (x-1)(x-7)>0 $$

   Отсюда

   $$ x<1 \quad \text{или} \quad x>7 $$

   Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup(7;+\infty)$$.