Упр.125 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. На одной координатной плоскости построить графики функций $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=x$$. Выяснить, при каких значениях $$x$$: 1) графики этих функций пересекаются; 2) график первой функции лежит выше (ниже) графика второй.

Найдём точки пересечения графиков, приравняв функции:

$$\frac{1}{x}=x$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

При $$x=1$$ получаем $$y=1$$, при $$x=-1$$ получаем $$y=-1$$. Значит, графики пересекаются в точках $$(-1;\,-1)$$ и $$(1;\,1)$$.

Чтобы выяснить, где график функции $$y=\frac{1}{x}$$ лежит выше графика функции $$y=x$$, рассмотрим разность:

$$\frac{1}{x}-x=\frac{1-x^2}{x}=\frac{(1-x)(1+x)}{x}$$

Определим знаки на промежутках, разделённых точками $$-1$$, $$0$$, $$1$$:

• на $$(-\infty;\,-1)$$ разность положительна, значит $$\frac{1}{x}>x$$;
• на $$(-1;\,0)$$ разность отрицательна, значит $$\frac{1}{x}
• на $$(0;\,1)$$ разность положительна, значит $$\frac{1}{x}>x$$;
• на $$(1;\,+\infty)$$ разность отрицательна, значит $$\frac{1}{x}

Следовательно, график первой функции выше графика второй на промежутках $$(-\infty;\,-1)$$ и $$(0;\,1)$$, а ниже — на промежутках $$(-1;\,0)$$ и $$(1;\,+\infty)$$.

Ответ

1) $$(-1;\,-1)$$ и $$(1;\,1)$$.

2) Выше на $$(-\infty;\,-1)$$ и $$(0;\,1)$$, ниже на $$(-1;\,0)$$ и $$(1;\,+\infty)$$.