Упр.125 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1) графики этих функций пересекаются;
2) график первой функции лежит выше (ниже) графика второй.

Найдём точки пересечения графиков, приравняв функции:

$$\frac{1}{x}=x$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

При $x=1$ получаем $y=1$, при $x=-1$ получаем $y=-1$. Значит, графики пересекаются в точках $(-1;\,-1)$ и $(1;\,1)$.

Чтобы выяснить, где график функции $$y=\frac{1}{x}$$ лежит выше графика функции $$y=x$$, рассмотрим разность:

$$\frac{1}{x}-x=\frac{1-x^2}{x}=\frac{(1-x)(1+x)}{x}$$

Определим знаки на промежутках, разделённых точками $-1$, $0$, $1$:

• на $(-\infty;\,-1)$ разность положительна, значит $$\frac{1}{x}>x$$;
• на $(-1;\,0)$ разность отрицательна, значит $$\frac{1}{x}
• на $(0;\,1)$ разность положительна, значит $$\frac{1}{x}>x$$;
• на $(1;\,+\infty)$ разность отрицательна, значит $$\frac{1}{x}

Следовательно, график первой функции выше графика второй на промежутках $$(-\infty;\,-1)$$ и $$(0;\,1)$$, а ниже — на промежутках $$(-1;\,0)$$ и $$(1;\,+\infty)$$.

Ответ

1) $$(-1;\,-1)$$ и $$(1;\,1)$$.

2) Выше на $$(-\infty;\,-1)$$ и $$(0;\,1)$$, ниже на $$(-1;\,0)$$ и $$(1;\,+\infty)$$.