Упр.110 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Задача

1) y=x+1/x убывает на интервале (0; 1);
2) y=1/(x^2+1) убывает на промежутке [0; +?) и возрастает на промежутке (-?; 0];
3) y=x^3-3x возрастает на промежутках (-?; -1] и [1; +?), убывает на отрезке [-1; 1];
4) y=x-2vx возрастает на промежутке [1; +?) и убывает на отрезке [0; 1].

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{1}{x}$$ на промежутке $$\left(0;1\right).$$
Возьмём любые $$x_1$$ и $$x_2$$ такие, что $$0<x_1<x_2<1.$$ Тогда
$$ y(x_2)-y(x_1)=\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)-\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right) $$
$$ =\frac{x_2x_1(x_2-x_1)-(x_2-x_1)}{x_1x_2} =\frac{(x_1x_2-1)(x_2-x_1)}{x_1x_2}. $$
Так как $$0<x_1<x_2<1,$$ то $$x_1x_2<1,$$ значит $$x_1x_2-1<0,$$ а также $$x_2-x_1>0.$$ Следовательно,
$$y(x_2)-y(x_1)<0,$$
то есть $$y(x_2)<y(x_1).$$ Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right).$$
Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x^2+1}.$$
Пусть $$x_1<x_2.$$ Тогда
$$ y(x_2)-y(x_1)=\frac{1}{x_2^2+1}-\frac{1}{x_1^2+1} =\frac{x_1^2-x_2^2}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} =\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}. $$
Если $$0\le x_1<x_2,$$ то $$x_1-x_2<0$$ и $$x_1+x_2>0,$$ значит $$y(x_2)-y(x_1)<0.$$ Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty).$$
Если $$x_1<x_2\le 0,$$ то $$x_1-x_2<0$$ и $$x_1+x_2<0,$$ поэтому $$y(x_2)-y(x_1)>0.$$ Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0].$$
Рассмотрим функцию $$y=x^3-3x.$$ Пусть $$x_1<x_2.$$ Тогда
$$ y(x_2)-y(x_1)=(x_2^3-3x_2)-(x_1^3-3x_1) $$
$$ =(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2-3). $$
Если $$x_1<x_2\le -1$$ или $$x_2>x_1\ge 1,$$ то $$x_2^2+x_1x_2+x_1^2-3>0,$$ а значит $$y(x_2)-y(x_1)>0.$$ Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty).$$
Если $$-1\le x_1<x_2\le 1,$$ то $$x_2^2+x_1x_2+x_1^2-3<0,$$ поэтому $$y(x_2)-y(x_1)<0.$$ Значит, функция убывает на $$[-1;1].$$
Рассмотрим функцию $$y=x-2\sqrt{x},$$ где $$x\ge 0.$$ Пусть $$x_1<x_2.$$ Тогда
$$ y(x_2)-y(x_1)=(x_2-2\sqrt{x_2})-(x_1-2\sqrt{x_1}) $$
$$ =(x_2-x_1)-2(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}) $$
$$ =(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}-2). $$
Если $$x_1<x_2\le 1,$$ то $$\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}>0,$$ а $$\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}-2\le 0,$$ значит $$y(x_2)-y(x_1)\le 0.$$ Следовательно, функция убывает на $$[0;1].$$
Если $$x_2>x_1\ge 1,$$ то $$\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}>0$$ и $$\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}-2\ge 0,$$ поэтому $$y(x_2)-y(x_1)\ge 0.$$ Значит, функция возрастает на $$[1;+\infty).$$