Упр.109 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. $$y=x^2+5$$ возрастает на промежутке $$[0;+\infty)$$.

   Пусть $$x_2>x_1\ge 0$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=(x_2^2+5)-(x_1^2+5)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0.$$

   Значит, $$y(x_2)>y(x_1)$$, то есть функция возрастает.

2. $$y=x^2-7$$ убывает на промежутке $$(-\infty;0]$$.

   Пусть $$x_1<x_2\le 0$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=(x_2^2-7)-(x_1^2-7)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)<0.$$

   Следовательно, $$y(x_2)<y(x_1)$$, значит, функция убывает.

3. $$y=(x+1)^2$$ убывает на промежутке $$(-\infty;-1]$$.

   Пусть $$x_1<x_2\le -1$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=(x_2+1)^2-(x_1+1)^2$$
   $$=(x_2-x_1)(x_2+x_1+2)<0.$$

   Значит, $$y(x_2)<y(x_1)$$, то есть функция убывает.

4. $$y=(x-4)^2$$ возрастает на промежутке $$[4;+\infty)$$.

   Пусть $$x_2>x_1\ge 4$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=(x_2-4)^2-(x_1-4)^2$$
   $$=(x_2-x_1)(x_2+x_1-8)>0.$$

   Следовательно, $$y(x_2)>y(x_1)$$, значит, функция возрастает.

5. $$y=\frac{1}{x}-9$$ убывает на интервале $$(-\infty;0)$$.

   Пусть $$x_1<x_2<0$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=\left(\frac{1}{x_2}-9\right)-\left(\frac{1}{x_1}-9\right) =\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1} =\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}<0.$$

   Значит, $$y(x_2)<y(x_1)$$, то есть функция убывает.

6. $$y=\frac{1}{x}+6$$ убывает на интервале $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Пусть $$x_1<x_2$$ и $$x_1,x_2>0$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=\left(\frac{1}{x_2}+6\right)-\left(\frac{1}{x_1}+6\right) =\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1} =\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}<0.$$

   Следовательно, функция убывает.

7. $$y=\frac{1}{x+2}$$ убывает на интервале $$(-2;+\infty)$$.

   Пусть $$x_1<x_2$$ и $$x_1,x_2>-2$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=\frac{1}{x_2+2}-\frac{1}{x_1+2} =\frac{(x_1+2)-(x_2+2)}{(x_1+2)(x_2+2)} =\frac{x_1-x_2}{(x_1+2)(x_2+2)}<0.$$

   Значит, функция убывает.

8. $$y=\frac{1}{x-3}$$ убывает на интервале $$(-\infty;3)$$.

   Пусть $$x_1<x_2<3$$. Тогда

   $$y(x_2)-y(x_1)=\frac{1}{x_2-3}-\frac{1}{x_1-3} =\frac{(x_1-3)-(x_2-3)}{(x_1-3)(x_2-3)} =\frac{x_1-x_2}{(x_1-3)(x_2-3)}<0.$$

   Следовательно, функция убывает.

Ответ

1) возрастает на $$[0;+\infty)$$; 2) убывает на $$(-\infty;0]$$; 3) убывает на $$(-\infty;-1]$$; 4) возрастает на $$[4;+\infty)$$; 5) убывает на $$(-\infty;0)$$; 6) убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$; 7) убывает на $$(-2;+\infty)$$; 8) убывает на $$(-\infty;3)$$.