Упр.103 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Построить график функции:

1. $$y=|x|+|x-2|$$;
2. $$y=|x+1|-|x|$$.

1. $$y=|x|+|x-2|$$

   Найдём вид функции по промежуткам, где выражения под модулем меняют знак:

   $$x<0,\quad 0\le x<2,\quad x\ge 2$$

   1) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, $$|x-2|=2-x$$, значит
   $$y=-x+(2-x)=2-2x.$$

   2) Если $$0\le x<2$$, то $$|x|=x$$, $$|x-2|=2-x$$, значит
   $$y=x+(2-x)=2.$$

   3) Если $$x\ge 2$$, то $$|x|=x$$, $$|x-2|=x-2$$, значит
   $$y=x+(x-2)=2x-2.$$

   Итак,

   $$y= \begin{cases} 2-2x, & x<0,\\ 2, & 0\le x<2,\\ 2x-2, & x\ge 2. \end{cases}$$

   Вершины ломаной: $$(0,2)$$ и $$(2,2)$$. Для построения можно отметить точки $$(-1,4)$$ и $$(3,4)$$.

2. $$y=|x+1|-|x|$$

   Рассмотрим промежутки $$x<-1$$, $$-1\le x<0$$ и $$x\ge 0$$.

   1) Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-(x+1)$$, $$|x|=-x$$, значит
   $$y=-(x+1)-(-x)=-1.$$

   2) Если $$-1\le x<0$$, то $$|x+1|=x+1$$, $$|x|=-x$$, значит
   $$y=(x+1)-(-x)=2x+1.$$

   3) Если $$x\ge 0$$, то $$|x+1|=x+1$$, $$|x|=x$$, значит
   $$y=(x+1)-x=1.$$

   Следовательно,

   $$y= \begin{cases} -1, & x<-1,\\ 2x+1, & -1\le x<0,\\ 1, & x\ge 0. \end{cases}$$

   Вершины ломаной: $$(-1,-1)$$ и $$(0,1)$$. Для построения можно отметить точки $$(-2,-1)$$ и $$(1,1)$$.

Ответ

1) $$y= \begin{cases} 2-2x, & x<0,\\ 2, & 0\le x<2,\\ 2x-2, & x\ge 2. \end{cases}$$

2) $$y= \begin{cases} -1, & x<-1,\\ 2x+1, & -1\le x<0,\\ 1, & x\ge 0. \end{cases}$$