Упр.101 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. $$y=\sqrt{\frac{x^2-4}{x+3}}$$
2. $$y=((x-1)(x-2)(x-3))^4$$
3. $$y=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{1/3}$$
4. $$y=\sqrt{(x+1)(x-1)(x-4)}$$
5. $$y=\left(\frac{x^2+4x-5}{x-2}\right)^{1/8}$$
6. $$y=x^{1/6}+(1+x)^{1/5}$$

1. $$y=\sqrt{\frac{x^2-4}{x+3}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$\frac{x^2-4}{x+3}\ge 0,\qquad x\ne -3.$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{(x-2)(x+2)}{x+3}\ge 0.$$

   По знакам получаем:

   $$x\in(-3;-2]\cup[2;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt[4]{(x-1)(x-2)(x-3)}$$

   Для существования корня четной степени нужно:

   $$(x-1)(x-2)(x-3)\ge 0.$$

   Отсюда:

   $$x\in[1;2]\cup[3;+\infty).$$

3. $$y=\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}$$

   Кубический корень определён при любых значениях подкоренного выражения, но знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:

   $$1+x\ne 0,\qquad x\ne -1.$$

   Значит,

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

4. $$y=\sqrt{(x+1)(x-1)(x-4)}$$

   Требуется:

   $$(x+1)(x-1)(x-4)\ge 0.$$

   По знакам произведения:

   $$x\in[-1;1]\cup[4;+\infty).$$

5. $$y=\sqrt[8]{\frac{x^2+4x-5}{x-2}}$$

   Для корня четной степени нужно:

   $$\frac{x^2+4x-5}{x-2}\ge 0,\qquad x\ne 2.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2+4x-5=(x+5)(x-1).$$

   Тогда

   $$\frac{(x+5)(x-1)}{x-2}\ge 0.$$

   По знакам получаем:

   $$x\in[-5;1]\cup(2;+\infty).$$

6. $$y=\sqrt[6]{x}+\sqrt[5]{1+x}$$

   Для первого слагаемого нужно:

   $$x\ge 0.$$

   Для второго слагаемого ограничений нет, так как корень пятой степени определён при любых $$x$$.

   Следовательно,

   $$x\in[0;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-3;-2]\cup[2;+\infty)$$

2) $$[1;2]\cup[3;+\infty)$$

3) $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$

4) $$[-1;1]\cup[4;+\infty)$$

5) $$[-5;1]\cup(2;+\infty)$$

6) $$[0;+\infty)$$