Упр.8 Это надо знать Глава 3 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. На примере системы $$\begin{cases} x^2+y^2=9, \\ x+y=2 \end{cases}$$ покажите, в чём состоит графический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными.

Преобразуем систему к виду, удобному для построения графиков:

$$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=2-x. \end{cases}$$

Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $$R=\sqrt{9}=3$$.

Второе уравнение задаёт прямую. Для построения найдём две точки:

$$\begin{array}{c|cc} x & 0 & 2 \\ \hline y & 2 & 0 \end{array}$$

Построим окружность $$x^2+y^2=9$$ и прямую $$y=2-x$$. Точки их пересечения удовлетворяют обеим уравнениям системы, значит, являются её решениями.

Найдём их алгебраически:

$$x^2+(2-x)^2=9$$

$$x^2+4-4x+x^2=9$$

$$2x^2-4x-5=0$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16+40}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{56}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$$

Тогда

$$y=2-x=\frac{2\mp\sqrt{14}}{2}.$$

Следовательно, графики пересекаются в двух точках, а система имеет два решения.

Ответ

$$\left(\frac{2+\sqrt{14}}{2},\frac{2-\sqrt{14}}{2}\right),\quad \left(\frac{2-\sqrt{14}}{2},\frac{2+\sqrt{14}}{2}\right).$$