Упр.789(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
1) Найдите по комбинаторной формуле, связывающей число сочетаний, размещений и перестановок, следующие сочетания: C(6; 1), C(6; 2), C(6; 3), C(6; 4), C(6; 5), C(6; 6). Сравните их с числами, стоящими в шестой строке треугольника Паскаля.
2) Найдите C(7; 4), C(8; 3), C(10; 5) по формуле и сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.
Используем формулу сочетаний:
$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
Найдём сочетания для $$n=6$$:
$$C_6^1=\frac{6!}{1!\,5!}=6,$$
$$C_6^2=\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\cdot5}{2}=15,$$
$$C_6^3=\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2}=20,$$
$$C_6^4=\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{4\cdot3\cdot2}=15,$$
$$C_6^5=\frac{6!}{5!\,1!}=6,$$
$$C_6^6=\frac{6!}{6!\,0!}=1.$$Полученные числа совпадают с числами шестой строки треугольника Паскаля: $$1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1.$$
Найдём сочетания по формуле:
$$C_7^4=\frac{7!}{4!\,3!}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2}=35,$$
$$C_8^3=\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2}=56,$$
$$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\,5!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2}=252.$$Эти же числа получаются и по треугольнику Паскаля.
Ответ
$$C_6^1=6,\ C_6^2=15,\ C_6^3=20,\ C_6^4=15,\ C_6^5=6,\ C_6^6=1;$$
$$C_7^4=35,\ C_8^3=56,\ C_{10}^5=252.$$
