Упр.788(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Получился ли у вас тот же ответ?
2) Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний: C(n; k) = n!/(k!(n-k)!).

1) Используем формулу числа размещений:

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Тогда:

$$A_{12}^3=\frac{12!}{(12-3)!}=\frac{12!}{9!}=12\cdot 11\cdot 10=1320,$$

$$A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040,$$

$$A_{15}^5=\frac{15!}{(15-5)!}=\frac{15!}{10!}=15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11=360360.$$

Получились те же ответы.

2) Число сочетаний выражается через число размещений и число перестановок:

$$C_n^k=\frac{A_n^k}{P_k}.$$

Так как

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}, \qquad P_k=k!,$$

то

$$C_n^k=\frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Формула доказана.

Ответ

$$A_{12}^3=1320,\quad A_{10}^4=5040,\quad A_{15}^5=360360,$$

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$