Упр.760(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

2) Сформулируйте полученный результат в общем виде: «Если каждое число ряда умножить на одно и то же число k, то…»
3) Ответьте на вопрос задачи, используя утверждения из пункта 2:
Ребятам было поручено провести статистическое исследование роста одноклассников. Коля записал рост ребят в сантиметрах: 162; 181; 179; …, а Оля — в метрах: 1,62; 1,81; 1,79; … . Затем они подсчитали средний рост, дисперсию и стандартное отклонение. Коля получил соответственно 172, 16 и 4. Какие результаты получила Оля?

1) Если каждое число ряда умножить на 10, то среднее арифметическое тоже увеличится в 10 раз:

$$\overline{x}_2=\frac{10x_1+10x_2+\cdots+10x_n}{n}=10\cdot\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=10a.$$

Размах ряда также увеличится в 10 раз:

$$d_2=10x_n-10x_1=10(x_n-x_1)=10d_1.$$

Дисперсия увеличится в $10^2=100$ раз:

$$ D_2=\frac{(10x_1-10a)^2+(10x_2-10a)^2+\cdots+(10x_n-10a)^2}{n} =100\cdot\frac{(x_1-a)^2+(x_2-a)^2+\cdots+(x_n-a)^2}{n} =100D_1. $$

Стандартное отклонение увеличится в 10 раз, так как оно равно корню из дисперсии:

$$\sigma_2=\sqrt{D_2}=\sqrt{100D_1}=10\sqrt{D_1}=10\sigma_1.$$

2) В общем виде:

если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то среднее арифметическое и размах умножатся на $k$, дисперсия — на $k^2$, а стандартное отклонение — на $|k|$.

3) Рост Оли записан в метрах, то есть все числа меньше в 100 раз, чем у Коли: $1\text{ м}=100\text{ см}$, значит $k=\frac{1}{100}$.

Тогда:

$$\overline{x}_{\text{Оля}}=172\cdot\frac{1}{100}=1{,}72,$$

$$D_{\text{Оля}}=16\cdot\left(\frac{1}{100}\right)^2=0{,}0016,$$

$$\sigma_{\text{Оля}}=4\cdot\frac{1}{100}=0{,}04.$$

Ответ

1) Среднее арифметическое увеличится в 10 раз, размах — в 10 раз, дисперсия — в 100 раз, стандартное отклонение — в 10 раз.

2) Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то среднее арифметическое и размах умножатся на $k$, дисперсия — на $k^2$, стандартное отклонение — на $|k|$.

3) Оля получила: $1{,}72$; $0{,}0016$; $0{,}04$.