Упр.759(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Докажите следующие утверждения:

а) В любом ряду данных сумма отклонений данных от их среднего арифметического равна нулю.

б) Если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

а) Пусть даны числа $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n.$$ Их среднее арифметическое равно

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}.$$

Тогда сумма отклонений от среднего арифметического:

$$(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})$$

равна

$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)-n\overline{x}.$$

Подставим формулу среднего:

$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)-n\cdot \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=0.$$

Значит, сумма отклонений данных от их среднего арифметического равна нулю.

б) Пусть к каждому числу ряда прибавили одно и то же число $$a.$$ Тогда новый ряд имеет вид

$$x_1+a,\; x_2+a,\; \ldots,\; x_n+a.$$

Его среднее арифметическое:

$$\overline{x}’=\frac{(x_1+a)+(x_2+a)+\cdots+(x_n+a)}{n} =\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}+a =\overline{x}+a.$$

Найдём дисперсию нового ряда:

$$D’=\frac{(x_1+a-\overline{x}’)^2+(x_2+a-\overline{x}’)^2+\cdots+(x_n+a-\overline{x}’)^2}{n}.$$

Так как $$\overline{x}’=\overline{x}+a,$$ то

$$x_i+a-\overline{x}’=x_i+a-(\overline{x}+a)=x_i-\overline{x}.$$

Следовательно,

$$D’=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2}{n}=D.$$

Значит, при увеличении каждого числа ряда на одно и то же число дисперсия не изменяется.

Ответ

а) $$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})=0.$$
б) Дисперсия не изменяется.