Упр.730(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 192, сумма следующих её трёх членов равна 48. Найдите:
а) сумму членов этой прогрессии с седьмого по девятый включительно;
б) сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.

Подробный ответ

1) Пусть $$b_n$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4,\quad b_6=b_1q^5,\quad b_7=b_1q^6,\quad b_8=b_1q^7,\quad b_9=b_1q^8.$$

По условию

$$S_1=b_1+b_2+b_3,\quad S_2=b_4+b_5+b_6,\quad S_3=b_7+b_8+b_9.$$

Найдём отношения соседних членов:

$$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{b_4+b_5+b_6}{b_1+b_2+b_3} = \frac{b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5}{b_1+b_1q+b_1q^2} = \frac{q^3(b_1+b_1q+b_1q^2)}{b_1+b_1q+b_1q^2} = q^3; $$

$$ \frac{S_3}{S_2} = \frac{b_7+b_8+b_9}{b_4+b_5+b_6} = \frac{b_1q^6+b_1q^7+b_1q^8}{b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5} = \frac{q^3(b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5)}{b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5} = q^3. $$

Следовательно, $$\frac{S_2}{S_1}=\frac{S_3}{S_2}$$, значит, последовательность $$S_1, S_2, S_3$$ является геометрической прогрессией.

2) Дано:

$$S_1=192,\quad S_2=48.$$

Тогда знаменатель прогрессии $$S_1, S_2, S_3$$ равен

$$q=\frac{S_2}{S_1}=\frac{48}{192}=\frac14.$$

а) Сумма членов с седьмого по девятый включительно:

$$S_3=S_2\cdot q=48\cdot \frac14=12.$$

б) Сумма первых двенадцати членов:

$$S_4=S_3\cdot q=12\cdot \frac14=3,$$

$$S_{12}=S_1+S_2+S_3+S_4=192+48+12+3=255.$$