Упр.729(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: В геометрической прогрессии (b_n) сумма первого, второго и третьего членов равна 42, а сумма второго, третьего и четвёртого членов равна 21. Найдите сумму этих четырёх членов геометрической прогрессии.

Пусть $$b_1, b_2, b_3, b_4$$ — первые четыре члена геометрической прогрессии с знаменателем $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_1+b_2+b_3=42,$$

$$b_2+b_3+b_4=21.$$

Разделим первое равенство на второе:

$$\frac{b_1+b_2+b_3}{b_2+b_3+b_4}=\frac{42}{21}=2.$$

С другой стороны,

$$\frac{b_1+b_2+b_3}{b_2+b_3+b_4}=\frac{b_1(1+q+q^2)}{b_1q(1+q+q^2)}=\frac{1}{q}.$$

Значит,

$$\frac{1}{q}=2,\quad q=\frac{1}{2}.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1(1+q+q^2)=42,$$

$$b_1\left(1+\frac12+\frac14\right)=42,$$

$$b_1\cdot \frac74=42,$$

$$b_1=24.$$

Тогда сумма первых четырёх членов:

$$S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=b_1\frac{1-q^4}{1-q}.$$

Подставим найденные значения:

$$S_4=24\cdot \frac{1-\left(\frac12\right)^4}{1-\frac12}=24\cdot 2\cdot \left(1-\frac{1}{16}\right)=48\cdot \frac{15}{16}=45.$$

Ответ

$$45$$